Адиабатический процесс в задачах Сириуса

Задача 1.

При адиабатическом расширении трех молей двухатомного газа его температура понизилась на $100^{\circ}C$. Определите работу, совершенную газом. Ответ приведите в кДж, округлив до сотых.

Решение.  Так как процесс идет без обмена теплотой с окружающими телами, то работа будет равна изменению внутренней энергии газа. А он – двухатомный, то есть число степеней свободы 5. Тогда

$$A=\frac{5}{2}\nu R \Delta T=\frac{5}{2}\cdot 3\cdot 8,31 \cdot 100=6232,5$$

Ответ: 6,23 кДж.

Задача 2.

Идеальный одноатомный газ находится под давлением 120 кПа в объеме 7 л при температуре $327^{\circ}C$. В результате адиабатического расширения температура этого газа уменьшилась на $50^{\circ}C$. Какую работу совершил газ в этом процессе? Ответ приведите в Дж, округлив до целого числа.

Решение. С одной стороны, в первоначальном состоянии

$$pV=\nu R T$$

Откуда

$$\nu R=\frac{pV}{T}=\frac{120000\cdot 0,007}{600}=1,4$$

Так как газ одноатомный, то $i=3$, и

$$A=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\cdot 1,4\cdot 50=105$$

Ответ: 105 Дж.

Задача 3.

В горизонтальном цилиндре, закрытом поршнем, находится некоторая масса водорода при температуре $t_0=0^{\circ}C$, занимающая объем $V_1=5,5$ дм$^3$ при давлении $p_1=10^5$ Па. Газ адиабатически сжали, совершив работу $A=50$ Дж. Найдите изменение температуры газа. Ответ выразите в К, округлив до целого числа.

Решение. С одной стороны, в первоначальном состоянии

$$pV=\nu R T$$

Откуда

$$\nu R=\frac{pV}{T}=\frac{100000\cdot 0,0055}{273}=2,01$$

Так как газ двухатомный, то $i=5$, и

$$A=\Delta U=\frac{5}{2}\nu R \Delta T$$

$$\Delta T=\frac{2A}{5\nu R}=\frac{100}{5\cdot 2,01}=9,92$$

Ответ: 10 К

Задача 4.

С одним молем двухатомного идеального газа проводят цикл, состоящий из адиабатического расширения, изотермического сжатия и изохорического нагревания. Известно, что на изохоре к газу подвели количество теплоты $Q=10$ кДж. Какую работу совершил газ при адиабатическом расширении? Ответ приведите в кДж, округлив до целого числа.

Решение. В процессе 1-2 (адиабатического расширения) газ тепло не получает, но совершает работу, Джоули на выполнение которой он черпает из внутренних резервов, то есть уменьшается его внутренняя энергия.

$$A_{12}=\Delta U_{12}$$

На изотерме 2-3 изменения внутренней энергии не происходит, остаемся «при своих». Зато на изохоре газ получает 10 кДж, но работы-то не совершает, поэтому

$$Q_{31}=\Delta U_{31}$$

А так как мы вернулись в точку 1, то и выходит, что изменение внутренней энергии $\Delta U_{12}$ равно изменению внутренней энергии $\Delta U_{31}=Q=10000$.

Ответ: 10 кДж

Задача 5.

Газообразный гелий из начального состояния 1 расширяется в изобарическом процессе 1-2, а затем продолжает расширяться в адиабатическом процессе 2-3. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Найдите работу, совершенную газом в изобарическом процессе, если в адиабатическом процессе газ совершил работу $A=750$ Дж. Ответ дайте в Дж, округлив до целого числа.

 

Рисунок к задаче 5

Решение. Гелий – одноатомный газ, $i=3$. Работа на адиабатическом процессе равна изменению внутренней энергии, $\Delta U_{23}=A_{23}=750$ Дж.

$$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$$

Точки 1 и 3 лежат на одной изотерме, при переходе из одной в другую внутренняя энергия не меняется. Также разности температур $\Delta T_{12}$ и $\Delta T_{23}$ одинаковы. Поэтому работа в изобарном процессе будет равна

$$A=\nu R \Delta T=\frac{2}{3} A_{23}=500$$

Ответ: 500 Дж.

Задача 6.

Азот при начальной температуре 300 К занимает объем 10 л. Его адиабатически расширяют до объема 320 л. Найдите конечную температуру азота. Ответ приведите в К, округлив до целого числа.

Решение. Уравнение адиабаты таково:

$$pV^{\gamma}=const$$

То есть

$$p_1V_1^{\gamma}= p_2V_2^{\gamma}$$

Откуда

$$\frac{p_1}{p_2}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma}$$

Показатель  адиабаты для азота – двухатомного газа – равен

$$\gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{7}{5}=1,4$$

Поэтому

$$\frac{p_1}{p_2}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma}=32^{1,4}=128$$

В первом состоянии

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

Во втором –

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

Или

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

$$T_2=\frac{p_2}{p_1}\cdot \frac{V_2}{V_1}\cdot T_1=\frac{1}{128}\cdot \frac{320}{10}\cdot 300=75$$

Ответ: 75 К.

Задача 7.

В вертикальном сосуде, закрытом тяжелым поршнем, находится гелий при температуре $t_1=30^{\circ}C$. Снаружи сосуда – вакуум. Сверху на поршень аккуратно кладут и медленно отпускают еще один такой же поршень. Какая температура газа $t_2$ установится в сосуде при новом равновесном положении поршня? Ответ дайте в $^{circ}C$, округлив до целого числа. Поршни могут перемещаться в сосуде без трения. Сосуд и поршень не проводят тепло. Теплоемкости сосуда и поршней пренебрежимо малы.

Решение. Первоначально давление газа было равно

$$p_1=\frac{mg}{S}$$

Где $S$ - площадь поршня, а $mg$ - сила тяжести, действующая на него. Затем давление выросло до

$$p_2=\frac{2mg}{S}$$

Гелий – одноатомный газ, $i=3$, показатель адиабаты для него

$$\gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}$$

Уравнение адиабаты таково:

$$pV^{\gamma}=const$$

То есть

$$p_1V_1^{\gamma}= p_2V_2^{\gamma}$$

Откуда

$$\frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}$$

$$2=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{5}{3}}$$

Или

$$\frac{V_1}{V_2}=2^{\frac{3}{5}}$$

Если записать, что, согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

То

$$T_2=\frac{p_2}{p_1}\cdot \frac{V_2}{V_1}\cdot T_1=2\cdot 2^{-\frac{3}{5}}\cdot 303=2^{\frac{2}{5}}\cdot 303=400$$

Ответ: $127^{\circ}C$.