Адиабатические процессы, задачи Сириуса

Задача 1.

Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими стенками делится не проводящим теплоту поршнем на два объёма, в которых находится по одному молю гелия при температуре $T_0=200$ К. В левой части цилиндра на некоторое время включается нагреватель. Поршень перемещается. В конечном состоянии температуры в левой и правой частях цилиндра отличаются в три раза.
Найдите количество теплоты $Q$, переданное нагревателем газу. Ответ дайте в кДж, округлив до десятых. Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(К⋅моль).

Решение. Сначала запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для начального состояния:

$$p_0V_0=\nu R T_0$$

Затем давление становится равным $p_x$. Объем слева станет равен $V_x$, объем справа $2V_0-V_x$. Тогда уравнение Менделеева-Клапейрона для подогреваемого газа слева

$$p_xV_x=\nu R \cdot 3T$$

Для газа справа

$$p_x(2V_0-V_x)=\nu R T$$

Тогда

$$p_xV_x=3p_x(2V_0-V_x)$$

$$4p_xV_x=6p_xV_0$$

Объем газа слева

$$V_x=1,5V_0$$

Объем газа справа

$$2V_0-V_x=0,5V_x$$

Применим уравнение адиабаты.

$$p_0V_0^{\frac{5}{3}}=p_x V_x^{\frac{5}{3}}$$

$$p_0V_0^{\frac{5}{3}}=p_x (0,5V_0)^{\frac{5}{3}}$$

$$p_0=p_x\cdot (0,5)^{\frac{5}{3}}$$

$$p_x=p_0\cdot \sqrt[3]{32}$$

Теперь найдем температуру:

$$3T=\frac{p_xV_x}{\nu R}=\frac{ p_0\cdot \sqrt[3]{32}\cdot 1,5V_0}{\nu R}=\sqrt[3]{32}\cdot 1,5T_0=952,4$$

$$T=317,5$$

Окончательно определяем количество переданного газу количество теплоты, оно равно изменению внутренней энергии, так как работы газов равны по модулю и противоположны по знаку:

$$Q=\frac{3}{2}\nu R(3T-T_0)+ \frac{3}{2}\nu R(T-T_0)= \frac{3}{2}\nu R(2T-T_0)=10843$$

Ответ: 10,8 кДж

Задача 2.

Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими стенками делится не проводящим теплоту поршнем на два объёма, в которых находится по одному молю гелия при температуре $T_0=300$ К. В левой части цилиндра на некоторое время включается нагреватель. В результате поршень перемещается, и газ, содержащийся в левой части цилиндра, совершает работу $A=1245$ Дж.
Найдите отношение конечного объёма газа в левой и правой частях цилиндра $\alpha=\frac{V_{lev}}{V_{prav}}$. Ответ округлите до десятых. Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(К⋅моль).

Решение. Газ в правой части цилиндра изменяет объем ровно настолько же, насколько и газ в левой части, только он сжимается. Его работа отрицательна и равна по модулю 1245 Дж. Для газа в правой части процесс адиабатный, поэтому получаемое им количество теплоты равно нулю. Значит,

$$\Delta U=-A=1245$$

$$\frac{3}{2}\nu R \Delta T=1245$$

$$\Delta T=100$$

Значит, его конечная температура 400 К.

Применим уравнение адиабаты.

$$p_0V_0^{\frac{5}{3}}=p_x V_{prav}^{\frac{5}{3}}$$

И два уравнения Менделеева-Клапейрона, запишем для обоих состояний гелия справа:

$$p_0V_0=\nu R T_0$$

$$p_xV_{prav}=\nu R T_x$$

Разделим:

$$\frac{p_x}{p_0}=\frac{T_x}{T_0}\cdot \frac{V_0}{ V_{prav}}$$

$$\frac{p_x}{p_0}=\frac{4}{3}\cdot \frac{V_0}{ V_{prav}}$$

Подставим в уравнение адиабаты:

$$\frac{3}{4}\frac{ V_{prav}}{V_0}\cdot V_0^{\frac{5}{3}}=V_{prav}^{\frac{5}{3}}$$

$$\frac{3}{4} V_0^{\frac{2}{3}}=V_{prav}^{\frac{2}{3}}$$

$$\frac{ V_{prav}}{V_0}=\left(\frac{3}{4}\right)^{1,5}=0,65$$

$$\alpha=\frac{V_{lev}}{ V_{prav}}=2,1$$

Ответ: 2,1

Задача 3.

Теплоизолированный сосуд разделен тонкой неподвижной перегородкой AB на две части. В одной части находится 1 моль газообразного водорода, в другой — 1 моль гелия. В начальный момент оба газа имеют одинаковое давление и одинаковую температуру $T_0=293$ К.

Затем поршень CD квазистатически выдвигают, в результате чего объем гелия увеличивается в 2 раза. Перегородка слабо проводит тепло, поэтому за время движения поршня теплообмен между двумя газами пренебрежимо мал.

Рисунок к задаче 3

Какова будет установившаяся температура обоих газов после окончания теплообмена через перегородку AB? Ответ приведите в К, округлив до целого числа.

Решение. Для гелия процесс, происходящий при движении поршня, адиабатный. Поэтому

$$p_1V_1^{\frac{5}{3}}= p_2V_2^{\frac{5}{3}}$$

$$p_1V_1^{\frac{5}{3}}= p_2(2V_1)^{\frac{5}{3}}$$

$$p_1V_1^{\frac{5}{3}}= p_2V_1^{\frac{5}{3}}\cdot 2^{\frac{5}{3}}$$

$$p_1= p_2\cdot 2^{\frac{5}{3}}$$

$$\frac{p_2}{p_1}={0,5}^{\frac{5}{3}}$$

Теперь применим закон Менделеева-Клапейрона, запишем для обоих состояний гелия:

$$p_1V_1=\nu R T_0$$

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

$$\frac{T_2}{T_0}=\frac{ p_2V_2}{ p_1V_1}=\frac{p_2}{p_1}\cdot 2=0,5^{\frac{2}{3}}$$

$$T_2=0,5^{\frac{2}{3}}T_0=184,6$$

Затем начинается процесс выравнивания температур, водород отдает, а гелий получает тепло.

$$C_{H_2}\nu \Delta T_{H_2}= C_{He}\nu \Delta T_{He}$$

$$\frac{5}{2}(293-T_k)= \frac{3}{2}(T_k-T_2)$$

$$5(293-T_k)= 3(T_k-184,6)$$

$$T_k=252$$

Ответ: 252 К.