Адиабатическая атмосфера, задачи Сириуса

Задача 1.

В приближении адиабатической атмосферы оцените высоту $H$ атмосферы Земли. Ответ запишите в километрах с точностью до целого числа.
Считайте, что температура воздуха у поверхности Земли равна $+17^{\circ}$ C, высота атмосферы много меньше радиуса Земли. Ускорение свободного падения в атмосфере считайте постоянным равным $g=9,8$ м/с$^2$. Считайте, что в адиабатической атмосфере воздух остается идеальным двухатомным газом вплоть до абсолютного нуля температуры. Используйте следующие значения констант: $\mu=29$ г/моль — средняя молярная масса воздуха, $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$K) — универсальная газовая постоянная.

Решение.

Уравнение Менделеева-Клапейрона для небольших изменений объема и давления, а также температуры, запишем в виде:

$$\frac{\Delta p}{p}+\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta T}{T}$$

Так как процесс адиабатический, то

$$\Delta U+A=0$$

$$\frac{5}{2}\nu R \Delta T+p\Delta V=0$$

Делим на $\nu R T$, причем для первого слагаемого это и будет $\nu R T$, а для второго удобнее использовать $$\nu R T=pV$:

$$\frac{5\nu R \Delta T }{2\nu R T }+\frac{ p\Delta V }{pV}=0$$

Или

$$\frac{5\Delta T }{2T }+\frac{ \Delta V }{V}=0$$

Подставим сюда отношение $\frac{\Delta T}{T}$, полученное выше:

$$\frac{5}{2}\left(\frac{\Delta p}{p}+\frac{\Delta V}{V}\right)+ \frac{ \Delta V }{V}=0$$

$$\frac{5}{2}\frac{\Delta p}{p}+\frac{7}{2}\frac{\Delta V}{V}=0$$

Тогда

$$\frac{\Delta p}{p}=-\frac{7}{5}\frac{\Delta V}{V}=\frac{7}{2}\frac{\Delta T}{T}$$

С другой стороны,

$$\Delta p=\rho g H$$

$$\frac{\rho g H}{p}=\frac{7}{2}\frac{\Delta T}{T}$$

Подставим давление из закона Менделеева-Клапейрона:

$$\frac{\Delta T }{T}=\frac{2\rho g H}{7p}=\frac{2\rho g H }{\frac{m}{\mu V}RT}$$

$$\frac{\Delta T }{T}=\frac{2g H \mu}{7RT}$$

$$\Delta T=\frac{2g H \mu}{7R}$$

И, наконец, если считать, что температура изменяется до нуля по Кельвину

$$H=\frac{7R\Delta T}{2\mu g}=\frac{7RT_0}{2\mu g}=29678,6$$

Ответ: 30 км

Задача 2.

Когда альпинисты вдыхают разреженный воздух высоко в горах, масса вдыхаемого воздуха оказывается меньше, чем внизу, на уровне моря. В приближении адиабатической атмосферы посчитайте, во сколько раз уменьшается масса вдыхаемого воздуха на вершине горы Эльбрус высотой $H=5500$ м. Ответ запишите в виде числа, большего единицы, округлив до сотых.
При расчетах считайте, что объем вдыхаемого воздуха от высоты не зависит. Температуру воздуха внизу, на уровне моря, примите равной $t_0=0^{\circ}$ C. Воздух считайте идеальным двухатомным газом и используйте следующие значения констант: $\mu=29$ г/моль средняя молярная масса воздуха, $g=9,8$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения, $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$K) — универсальная газовая постоянная.

Решение. Сначала определим изменение температуры на высоте 5500 м. Вывод формулы не привожу, задача с курсов Сириуса, формула выводится в обучающем видео на курсе.

$$\frac{\Delta T}{\Delta h}=-\frac{\gamma-1}{\gamma}\cdot\frac{\mu g}{R}$$

$$\Delta T=\frac{1-\gamma}{\gamma}\cdot\frac{\mu g\Delta h}{R}$$

$$\Delta T=-0,286\cdot\frac{0,029\cdot 9,8\cdot 5500}{8,31}=-53,74$$

Теперь запишем уравнение адиабаты через температуры:

$${p_1}^{1-\gamma}{T_1}^{\gamma}= {p_2}^{1-\gamma}{T_2}^{\gamma}$$

$$\frac{{T_2}^{\gamma}}{ {T_1}^{\gamma}}=\frac{ {p_1}^{1-\gamma}}{ {p_2}^{1-\gamma}}$$

$$\frac{T_2}{ T_1}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$$

Согласно Менделееву-Клапейрону, внизу

$$m_0=\frac{p_0VM}{RT_0}$$

Вверху

$$ m_x=\frac{p_xVM}{RT_x}$$

Отношение масс

$$\frac{m_0}{m_x}=\frac{p_0}{p_x}\cdot \frac{T_x}{T_0}$$

$$\frac{m_0}{m_x}=\left(\frac{ T_0}{T_x}\right)^{-\frac{\gamma}{1-\gamma}}\cdot \frac{T_x}{T_0}$$

$$\frac{m_0}{m_x}=\left(\frac{ T_0}{T_x}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$$

Здесь $T_0$ - температура «внизу». «Наверху» температура $T_0-\Delta T=219,26$ К. Подставляем (у воздуха $\gamma=1,4$):

$$\frac{m_0}{m_x}=\left(\frac{ 273}{219,26}\right)^{\frac{1}{1,4-1}}=1,73$$

Ответ: 1,73