Сила давления света

Задача 1.

Кусочек металлической фольги массой $m=1$ мг освещается лазерным импульсом, мощность которого $P=15$ Вт. Какую скорость приобретет пластинка, если коэффициент отражения $R=1$, а длительность импульса $\tau=0,5$ с?

Решение. Импульс, приобретенный пластинкой, будет равен удвоенному импульсу всех фотонов, прилетевших на нее, поскольку коэффициент отражения равен 1 (то есть все фотоны отражаются, а значит, изменение их импульса равно удвоенному импульсу фотона).

$$m\upsilon= 2\cdot N_f\cdot \frac{E}{c}$$

Где $\frac{E}{c}$ - импульс фотона.

Число фотонов $N_f$  можно определить, разделив энергию импульса на энергию одного фотона.

$$N_f=\frac{P\tau}{E}$$

Тогда

$$ m\upsilon= 2\cdot\frac{P\tau}{E}\cdot \frac{E}{c}=\frac{2P\tau}{c}$$

Определяем скорость:

$$\upsilon=\frac{2P\tau}{mc}=\frac{2\cdot15\cdot 0,5}{10^{-6}\cdot3\cdot 10^8}=0,05$$

Ответ: 0,05 м/с.

Задача 2.

На полупрозрачное зеркало с площадью поверхности $S=100$ см$^2$, находящееся на орбите искусственного спутника Земли, падают солнечные лучи. Зеркало 30% света отражает, 20% света – пропускает сквозь себя, а остальное – поглощает. Найти силу, действующую на зеркало со стороны лучей. Мощность Солнца $P_G=3,8\cdot 10^{26}$ Вт, расстояние от Солнца $R=150$ млн км.

Решение. Что есть сила? Eё можно рассматривать как изменение импульса всех фотонов, деленное на время. При этом, если фотон отражается, его изменение импульса равно удвоенному импульсу, если поглощается, то изменение импульса – и есть сам импульс фотона, а если проходит насквозь, то его импульс не меняется и такие фотоны не вносят вклада в силу давления.

Импульс фотона:

$$p=\frac{E_f}{Nc}$$

Здесь $E_f$ - энергия всех фотонов, попавших на зеркало. Чтобы определить ее, нужно узнать энергию, приходящуюся на единицу площади на данном расстоянии от Солнца (солнечную постоянную $j$), а затем умножить ее на площадь зеркала:

$$E_f=jS=\frac{ P_G\Delta t }{4\pi R^2}\cdot S$$

Найдем изменение импульса всех фотонов:

$$\Delta p_f=0,3N\cdot 2p+0,5N\cdot p=1,1pN=\frac{1,1P_G\Delta t}{4\pi R^2c}\cdot S$$

Определяем силу:

$$F=\frac{\Delta p_f }{\Delta t }=\frac{1,1P_G}{4\pi R^2 c}\cdot S$$

$$F=\frac{1,1\cdot 3,8\cdot 10^{26}}{4\pi \cdot \left(1,5\cdot10^{11}\right)^2 \cdot 3\cdot 10^8}\cdot 10^{-2}=4,9\cdot 10^{-8}$$

Ответ: $F=4,9\cdot 10^{-8}$ Н.

Задача 3.

Оценить размер железной пылинки, при котором она будет выдуваться из Солнечной системы солнечным ветром. Мощность Солнца $P_G=3,8\cdot 10^{26}$ Вт, расстояние от Солнца $R=150$ млн км, плотность железа $\rho=8$ г/см$^3$.

Решение. Если сила давления солнечного ветра превысит силу тяжести, создаваемую Солнцем, то условие задачи выполнится. Нормальное ускорение на расстоянии $R$ от Солнца равно ($\upsilon=30000$ м/с – скорость Земли на орбите):

$$g_G=\frac{\upsilon^2}{R}=\frac{9\cdot 10^{8}}{1,5\cdot10^{11}}=6\cdot 10^{-3}$$

Сила, действующая на пылинку со стороны Солнца:

$$F_G=mg_G=\rho V\cdot g_G=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho\cdot g_G$$

С другой стороны, сила со стороны солнечного ветра равна $F=Ps=P\cdot \pi r^2$. Покажем, чему равно давление:

$$P=\frac{\frac{2\Delta p }{\Delta t}}{S}=\frac{2 p}{\Delta t S}=\frac{\frac{2E}{c}}{\Delta t S}$$

Энергия через солнечную постоянную $j$:

$$E=j\Delta t S$$

$$P=\frac{2 j\Delta t S }{c\Delta t S}=\frac{2j}{c}$$

Солнечная постоянная равна (Вт/м$^2$)

$$j=\frac{P_G}{4\pi R^2}=\frac{3,8\cdot 10^{26}}{4\pi\cdot 1,5^2\cdot 10^22}=1345$$

Чтобы пылинка выдувалась, сила тяготения Солнца и сила со стороны солнечного ветра должны быть по крайней мере равны:

$$ F_G=Ps$$

$$\frac{4}{3}\pi r^3 \rho\cdot g_G=\frac{2j}{c }\cdot \pi r^2$$

$$r=\frac{6j}{4c\rho g_G 4}=\frac{6\cdot 1345}{12\cdot 10^8\cdot 8000\cdot 6\cdot 10^{-3}\cdot 4}=3,5\cdot 10^{-8}$$

Ответ: 0,035 мкм