Концентрация фотонов

В этой статье будем определять концентрацию фотонов в световом луче, и количество фотонов, падающих за определенное время на поверхность известной площади.

Задача 1.

Рубиновый лазер дает импульс монохроматического излучения с длиной волны $\lambda=6943$ А. Определить концентрацию фотонов в пучке, если мощность излучения лазера $P=2$ МВт, а площадь сечения луча $S=4\cdot10^{-4}$ м$^2$.

Концентрация – это количество фотонов в объеме. Объем найдем как $V=c\cdotS\cdot t$. Количество фотонов определим как

$$N=\frac{E}{E_f}=\frac{Pt \lambda}{hc}$$

Определим теперь концентрацию:

$$n=\frac{N}{V}=\frac{Pt \lambda}{hc c\cdotS\cdot t }=\frac{P \lambda}{hc^2 \cdotS }=\frac{2\cdot10^6\cdot6943\cdot10^{-10}}{6,62\cdot10^{-34}\cdot 9\cdot10^{16}\cdot4\cdot10^{-4}}=5,8\cdot10^{19}$$

Ответ: $n=5,8\cdot10^{19}$ 1/м$^3$.

Задача 2.  Сколько квантов излучения падает за время $t=15$ с на поверхность площадью $S_2=10,4$ см$^2$, если ее облучают потоком гамма-лучей с длиной волны $\lambda=10^{-12}$ см, мощность которого на площадь $S_1=1$ см$^2$ составляет $P=0,002$ Вт?

Число фотонов можно найти как:

$$N=\frac{E}{E_f}=\frac{Pt \lambda}{hc}$$

Число фотонов, падающих на единицу поверхности:

$$NS_2=\frac{Pt \lambda S_2}{hc}$$

Мощность на площадь можно выразить как $\frac{P}{S_1}$, тогда

$$\frac{NS_2}{S_1}=\frac{Pt \lambda S_2}{hc S_1}=\frac{0,002\cdot15\cdot10^{-14}\cdot10,4\cdot10^{-4}}{6,62\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^8\cdot10^{-4}}=1,57\cdot10^{12}$$

Ответ: $1,57\cdot10^{12}$

Задача 3.

Сколько гамма-квантов падает ежесекундно на поверхность, которую облучают гамма-лучами мощностью $P=0,001$ Вт и длиной волны  $\lambda=10^{-14}$ м?

Число фотонов, падающих на единицу поверхности:

$$NS=\frac{Pt \lambda S}{hc}$$

Число фотонов можно найти как:

$$N=\frac{E}{E_f S}=\frac{Pt \lambda}{hc S}$$

А за время $t$:

$$\frac{N}{t}=\frac{E}{E_f S}=\frac{P \lambda}{hc S}$$

$$\frac{N}{t}=\frac{0,001\cdot 10^{-14} }{6,62\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^8}=5\cdot10^7$$

Ответ: $N=5\cdot10^7$ 1/см$^2\cdot$ с

Задача 4.

Точечный источник света мощностью $P$ испускает свет с длиной волны $\lambda$. Сколько фотонов $N$ падает за время $t$ на маленькую площадку площадью $S$, расположенную перпендикулярно к падающим лучам, на расстоянии $r$ от источника?

Число фотонов, падающих на единицу поверхности:

$$NS=\frac{Pt \lambda S}{hc}$$

Но источник излучает во все стороны, то есть лучи образуют сферу, а площадь площадки относится к площади сферы как $\frac{S}{4 \pi r^2}$, тогда количество квантов, попавших «в  нужное место» равно

$$\frac {NS}{S_{sf}} =\frac{Pt \lambda S}{hc 4 \pi r^2}$$

Ответ: $\frac{Pt \lambda S}{hc 4 \pi r^2}$

Задача 5.

Мощность точечного источника монохроматического излучения с длиной волны $\lambda = 1$ мкм $P=100$ Вт. Определить число фотонов, падающих за 1 с на $S=1$ см$^2$ площади, расположенной перпендикулярно лучам на расстоянии $R=10$ м.

По аналогии с предыдущей задачей

$$\frac {NS}{S_{sf}} =\frac{Pt \lambda S}{hc 4 \pi r^2}=\frac{100\cdot 1\cdot10^{-6}\cdot10^{-4}}{6,62\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^8\cdot10^{-4}\cdot4 \pi \cdot 100}=4\cdot10^{13}$$

Ответ: $4\cdot10^{13}$.