Задачник Добродеева, колебания, пара задач

Задача 2.6.

Пробирка с дробью на дне плавает в воде. Площадь поперечного сечения пробирки $S$, ее масса (с дробью) $m$. Найдите круговую частоту и период вертикальных колебаний пробирки.

Решение. Пусть пробирка плавает. Тогда

$$mg=F_A=\rho g S h$$

Теперь погрузим пробирку на $x=\Delta h$ ниже положения равновесия. Теперь отпустим.

$$ma=F_{A1}-mg$$

$$ma=\rho g S (h+\delta h)-mg$$

Вместо $mg$ подставим $F_A$:

$$ma=\rho g S (h+\delta h)- \rho g S h=\rho g S\Delta h$$

$$a=\frac{\rho g S}{m}\cdot x$$

Получили уравнение колебаний:

$$\ddot x=\frac{\rho g S}{m}\cdot x$$

Откуда

$$\omega^2=\frac{\rho g S}{m}$$

$$\omega=\sqrt{\frac{\rho g S}{m}}$$

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}}$$

Ответ: $\omega=\sqrt{\frac{\rho g S}{m}}$, $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}}$.

Задача 1.18.

Два одинаковых математических маятника имеют общую точку подвеса. Одному маятнику толчком сообщили некоторую скорость, а затем через $\frac{Т}{6}$ ($Т$ − период колебаний) второму маятнику сообщили толчком такую же по величине скорость, но в противоположном направлении. Через какое время $\tau$ после начала движения первого маятника оба маятника столкнутся?

Решение. За $\frac{Т}{6}$ первый маятник отклонится на некоторый угол. Пока неважно, на какой. Пройдет еще $\frac{T}{4}-\frac{T}{6}=\frac{T}{12}$, и первый маятник займет крайнее правое положение (предположим, он начал движение вправо), потому что для него прошла как раз четверть периода. А второй маятник за отрезок времени $\frac{T}{12}$ пройдет некоторый угол, пусть $\alpha$, двигаясь влево.

Чтобы второму попасть в положение максимального отклонения, для него должно миновать время $\frac{T}{4}-\frac{T}{12}=\frac{T}{6}$. Поэтому по прошествии времени $2\frac{T}{6}=\frac{T}{3}$ он займет снова указанное положение, двигаясь уже вправо, навстречу первому (отклонен влево на $\alpha$). А первый где через $\frac{T}{3}$? Мы его оставили в положении, где он занял крайнюю правую точку,  и с тех пор прошло два раза по $\frac{T}{6}$. За  отрезок $\frac{T}{4}$ наш маятник преодолеет амплитуду – окажется в положении равновесия.  И остается еще кусочек $\frac{T}{12}$ - за это время как раз второй маятник проходил этот  участок (угол $\alpha$) в начале движения. То есть маятники встретятся по прошествии $\tau =\frac{T}{12}+\frac{T}{3}=\frac{5T}{12}$.

Ответ: $\tau =\frac{5T}{12}$.