Волны - 2

Разберем более сложные задачи на тему «волны» - речь пока пойдет о механике. Здесь нам понадобится вспомнить сдвиги и растяжения графиков функций: как изменится формула, если график подвинуть вправо или влево?

Задача 1.

Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии $\Delta r =  2$ м друг от друга. Длина волны $\lambda = 1$ м.

Так как точки лежат на расстоянии двух целых длин волн, то колеблются они синфазно. Также можно записать, что их разделяет два периода  - то есть $4\pi$ радиан:

$$\Delta \psi=\frac{2 \pi \Delta r }{\lambda }=\frac{\2pi \cdot 2}{1}=4\pi$$

Ответ: $\Delta \psi=4\pi$.

Задача 2.

Звук распространяется в воде со скоростью $\upsilon = 1450$ н/с. Расстояние между ближайшими точками, в которых колебания частиц совершаются в противофазе, $\Delta r =  0,1$ м. Какова частота звука?

Длина волны и точки в противофазе

Ближайшие точки, колебания которых находятся в противофазе – это точки, которые разделяет половина длины волны. Тогда заключаем, что длина волны равна $\lambda=0,2$ м. Следовательно, частота

$$\nu=\frac{\upsilon }{\lambda }=\frac{1450}{0,2}=7250$$

Ответ: $\nu=7250$ Гц

Задача 3.

Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью $u = 50$ м/с. Период колебаний $Т= 0,05$ с, расстояние между точками $\Delta r =   0,5$ м. Найти разность фаз колебаний в этих точках.

Определим длину волны и поймем, сколько длин волн укладывается между двумя указанными точками:

$$\lambda =\frac{u }{\nu}=uT=50\cdot0,05=2,5$$

Так как расстояние между точками 0,5 м, то они находятся на расстоянии $\frac{1}{5}\lambda$, следовательно, разность фаз соответствует $\frac{T}{5}$:

$$\varphi=\frac{360}{5}=72^{\circ}$$

Если период записать в радианах - $2\pi$, то

$$\varphi=\frac{2\pi}{5}=0,4\pi$$

Ответ: $\varphi=72^{\circ}$, или $\varphi=0,4\pi$.

Задача 4.

Вдоль некоторой прямой распространяются колебания с периодом $Т = 0,25$ с и скоростью $u = 48$ м/с. Спустя $t=10$ с после возникновения колебаний в исходной точке на расстоянии $r_1 = 43$ м от нее смещение точки оказалось равным $\Delta x = 3$ см. Оценить в тот же момент времени смещение и фазу колебаний в точке, отстоящей на $r_2 = 45$ м от источника колебаний. Колебания распространяются по синусоидальному закону.
Запишем закон колебаний для первой точки:

$$x_1=A\sin(\omega t+\psi_{01})$$

Здесь $\psi_{01}$ - начальная фаза. Поскольку точка находится на расстоянии $r_1$ от источника, понять, какая у нее начальная фаза можно, определив, какое количество длин волн уложилось в эти 43 метра:

$$\psi_{01}=\omega \frac{r_1}{u}$$

Перед начальной фазой поставим знак минус – ведь мы смещаем график вправо на такое  $\frac{r_1}{u}$ количество длин волн.

Определим $\omega$ и запишем закон колебаний первой точки полностью:

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,25}=8 \pi$$

$$x_1=A\sin\omega ( t-\frac{r_1}{u})$$

Поскольку в этом уравнении только одна неизвестная – амплитуда – определим ее.

$$A=\frac{\Delta x }{\sin\omega (t-\frac{r_1}{u})}$$

Теперь займемся второй точкой. Начальную фазу ее колебаний определяем так же, как и для первой:

$$\psi_{02}=\omega \frac{r_2}{u}$$

Закон колебаний для нее будет

$$x_2=A\sin\omega (t-\frac{r_2}{u})=\frac{\Delta x \sin \omega (t-\frac{r_2}{u})}{\sin \omega (t-\frac{r_1}{u})}$$

Подставим численные данные:

$$x_2=\frac{3\sin 8\pi (10-\frac{45}{48})}{\sin 8\pi (10-\frac{43}{48})}=\frac{3\sin 8\pi (9,0625)}{\sin 8\pi (9,104)}= \frac{3\sin 0,5\pi }{\sin 0,83\pi }=5,88$$

Фаза колебаний:

$$\psi_{2}=\omega\left(t- \frac{r_2}{u}\right)=8 \pi \left (10-\frac{45}{48}\right)=72,5 \pi$$

Ответ: смещение точки $5,88 \approx 6$ см, фаза $\psi_{2}=72,5 \pi$.

Задача 5.

Две точки находятся на расстояниях $r_1 = 16$ м и $r_2= 12$ м от источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если период колебаний $Т = 0,04$ с, а скорость их распространения $u = 300$ м/с.

$$\Delta \psi=\frac{2 \pi \Delta r }{\lambda }=\frac{2 \pi (r_2-r_1) }{uT}=\frac{\2pi \cdot (16-12)}{300\cdot0,04}=\frac{2\pi}{3}$$

Ответ: $\Delta \psi=\frac{2\pi}{3}$.