Рельсы-рельсы, шпалы-шпалы...

Задача.

Параллельные горизонтальные рельсы длиной и сопротивлением единицы длины закреплены на расстоянии друг от друга. К концам рель присоединены две батареи: одна с ЭДС , а другая – с ЭДС . На рельсы кладут перемычку массой , которая может скользить вдоль рельсов. Вся система находится в вертикальном магнитном поле с индукцией . На каком расстоянии от левого края рельсов находится положение равновесия перемычки? Найти период малых колебаний перемычки около положения равновесия. Трением, сопротивлением перемычки, источников и проводов, а также индуктивностью цепи пренебречь.

Перемычка в равновесии, когда на нее не действует сила. А сила (Ампера) не действует, когда ток через перемычку нулевой. А если ток нулевой, то

Ток течет по рельсам и равен

Так как , то в левом контуре

Откуда

Теперь определим период колебаний. Как обычно, надо немного сместить перемычку и посмотреть, что будет. Сместим перемычку немного влево:

В этом положении по перемычке потечет ток, направленный вверх (от к ). А значит, сила Ампера направлена вправо.  И наоборот, если сместить перемычку от положения влево, то ток по ней будет течь вниз и сила Ампера будет направлена влево. Так как у перемычки нет сопротивления, то на ней падение напряжения всегда ноль. Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура слева:

Для правого контура:

Ток в перемычке

Раскроем скобки

Величина - малая, а - второго порядка малости. Ею можно пренебречь.

В знаменателе величина гораздо больше , поэтому

Теперь, зная ток в перемычке, найдем возвращающую силу:

Получилось классическое уравнение колебаний, значит,

Ответ: перемычка в равновесии, если находится на расстоянии от левого края. Период малых колебаний перемычки