Рельсы-рельсы, шпалы-шпалы...

Задача.

Параллельные горизонтальные рельсы длиной $L$ и сопротивлением единицы длины $\rho$ закреплены на расстоянии $l$ друг от друга. К концам рель присоединены две батареи: одна с ЭДС $\varepsilon$, а другая – с ЭДС $2\varepsilon$. На рельсы кладут перемычку массой $m$, которая может скользить вдоль рельсов. Вся система находится в вертикальном магнитном поле с индукцией $B$. На каком расстоянии от левого края рельсов находится положение равновесия перемычки? Найти период малых колебаний перемычки около положения равновесия. Трением, сопротивлением перемычки, источников и проводов, а также индуктивностью цепи пренебречь.

Перемычка в равновесии, когда на нее не действует сила. А сила (Ампера) не действует, когда ток через перемычку нулевой. А если ток нулевой, то

$$U_{AB}=0$$

Ток течет по рельсам и равен

$$I=\frac{3\varepsilon}{2\rho L}$$

Так как $U_{AB}=0$, то в левом контуре

$$\varepsilon=2x\cdot \rho\cdot I $$

Откуда

$$x=\frac{\varepsilon }{2\rho\cdot I }=\frac{\varepsilon }{2\rho\cdot \frac{3\varepsilon}{2\rho L}}=\frac{L}{3}$$

Теперь определим период колебаний. Как обычно, надо немного сместить перемычку и посмотреть, что будет. Сместим перемычку немного влево:

В этом положении по перемычке потечет ток, направленный вверх (от $D$ к $C$). А значит, сила Ампера направлена вправо.  И наоборот, если сместить перемычку от положения $AB$ влево, то ток по ней будет течь вниз и сила Ампера будет направлена влево. Так как у перемычки нет сопротивления, то на ней падение напряжения всегда ноль. Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура слева:

$$\varepsilon-I_1\cdot 2\rho\left(\frac{L}{3}-\Delta x\right)=0$$

$$I_1=\frac{\varepsilon }{2\rho\left(\frac{L}{3}-\Delta x\right)}$$

Для правого контура:

$$2\varepsilon-I_2\cdot 2\rho\left(\frac{2L}{3}+\Delta x\right)=0$$

$$I_2=\frac{2\varepsilon }{2\rho\left(\frac{2L}{3}+\Delta x\right)}$$

Ток в перемычке

$$i=I_1-I_2=\frac{\varepsilon }{2\rho}\cdot\frac{3\Delta x }{\left(\frac{L}{3}-\Delta x\right) \left(\frac{2L}{3}+\Delta x\right)}$$

Раскроем скобки

$$ i=\frac{\varepsilon }{2\rho}\cdot\frac{3\Delta x }{\frac{2L^2}{9}+\frac{L}{3}\Delta x-\frac{2L\cdot \Delta x}{3}-\Delta x^2}$$

Величина $\Delta x$ - малая, а $\Delta x^2$ - второго порядка малости. Ею можно пренебречь.

$$ i=\frac{\varepsilon }{2\rho}\cdot\frac{3\Delta x }{\frac{2L^2}{9}-\frac{L}{3}\Delta x}$$

$$ i=\frac{\varepsilon }{2\rho}\cdot\frac{9\Delta x }{\frac{2L^2}{3}-L\Delta x}$$

$$ i=\frac{\varepsilon }{2\rho}\cdot\frac{9}{\frac{2L^2}{3\Delta x }-L }$$

В знаменателе величина $\frac{2L^2}{3\Delta x }$ гораздо больше $L$, поэтому

$$ i=\frac{\varepsilon }{2\rho}\cdot\frac{9\cdot 3\Delta x }{2L^2}=\frac{27\varepsilon \Delta x }{4\rho L^2}$$

Теперь, зная ток в перемычке, найдем возвращающую силу:

$$F=iBl=\frac{27\varepsilon B l}{4\rho L^2}\Delta x=ma$$

Получилось классическое уравнение колебаний, значит,

$$\omega^2=\frac{27\varepsilon B l}{4\rho L^2 m}$$

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{4\rho L^2 m }{27\varepsilon B l }}$$

Ответ: перемычка в равновесии, если находится на расстоянии $x=\frac{L}{3}$ от левого края. Период малых колебаний перемычки $T=4\pi L\sqrt{\frac{\rho m }{27\varepsilon B l }}$