Пружинный маятник - 3

В этой статье присутствуют оба вида маятников: как математический, так и пружинный. В основном речь пойдет о математическом маятнике. Хочу обратить ваше внимание на разницу в количестве колебаний такого маятника и количестве качаний: качание - это отклонение в одну сторону, то есть только половинка колебания!

Математический и пружинный маятники

Задача 1.

Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один совершил $N_1 = 10$, а другой $N_2= 30$ колебаний?

Обозначим это неизвестное время за $t$. Тогда период колебаний первого маятника равен:

$$T_1=\frac{t}{N_1}$$

А второго

$$T_2=\frac{t}{N_2}$$

С другой стороны,

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$$

$$T_2=2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$$

Тогда

$$\frac{t}{N_1}=2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$$

$$\frac{t}{N_2}=2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$$

Поделим первое уравнение на второе:

$$\frac{N_2}{N_1}=\sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$$

Возведем в квадрат:

$$\frac{l_1}{l_2}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2=\left(\frac{30}{10}\right)^2=9$$

Ответ: длины отличаются в 9 раз.

Задача 2.

Определить длину нити математического маятника, если он совершает одно качание в 1 с.

Заметим, не колебание, а качание! Тогда за 2 с маятник совершит 2 качания – то есть одно полное колебание, то есть период $T=2$ и равен

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

$$T^2=4 \pi ^2\frac{l}{g}$$

$$l=\frac{gT^2}{4 \pi ^2}=\frac{10\cdot2^2}{4 (3,14) ^2}=1$$

Ответ: 1 м.

Задача 3.

Маятник длиной $l= 2$ м совершает на время $t = 1$ ч $N= 2536$ качаний. Определить ускорение свободного падения по этим данным.

Запишем формулу периода:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Возведем в квадрат:

$$T^2=4 \pi ^2\frac{l}{g}$$

«Вытащим» ускорение свободного падения:

$$g=\frac{4 \pi ^2 l}{T^2}$$

Период колебаний равен

$$T=\frac{2t}{N}$$

Так как опять дано количество качаний, следовательно, колебаний в два раза меньше!

Теперь нужно сделать подстановку численных данных. Только не забудем подставить время в секундах!

$$g=\frac{4 \pi ^2 l N^2}{4t^2}=\frac{4 (3,14)^2\cdot 2\cdot 2536^2}{3600^2}=9,79$$

Ответ: 9,79 м/с$^2$.

Задача 4.

Определить ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее, чем на Земле.

Если маятниковые часы идут медленнее, следовательно, на одно качание (или колебание – неважно) тратится больше времени, то есть период колебаний маятника таких часов на Луне стал больше:

$$T_L=2,46T_Z$$

Найдем отношение периодов:

$$T_L=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_L}}$$

$$T_Z=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_Z}}$$

$$\frac{ T_L }{ T_Z }=\sqrt{\frac{g_Z}{g_L}}$$

Возведем в квадрат:

$$\left(\frac{ T_L }{ T_Z }\right)^2=\frac{g_Z}{g_L}$$

Откуда

$$g_L=\frac{g_Z T_Z^2}{T_L^2}=\frac{9,8}{ 2,46^2}=1,62$$

Ответ: $g_L=1,62$ м/с$^2$.

Задача 5.

Математический и пружинный маятники совершают колебания с одинаковым периодом. Определить массу груза пружинного маятника, если коэффициент жесткости пружины $k= 20$ Н/м. Длина нити математического маятника $L= 0,4$ м.

Запишем формулу периода математического маятника:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Запишем формулу периода пружинного маятника:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Приравняем:

$$2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

$$\frac{l}{g}=\frac{m}{k}$$

Определим массу:

$$m=\frac{lk}{g}=\frac{0,4 \cdot 20}{9,8}=0,816$$

Ответ: 816 г