Пружинный маятник - 2

Продолжаем разбирать задачи на пружинный маятник. Здесь вы уже встретите задачки чуть-чуть посложнее, чем в предыдущей статье: нужно "достать" нужную величину из формулы, или записать математически неявное условие задачи.

Задача 1.

Во сколько раз уменьшится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать $\frac{3}{4}$ длины жгута и подвесить на оставшуюся часть тот же груз?

Пружинный маятник

Если отрезать $\frac{3}{4}$ длины жгута, то его длина в итоге уменьшается вчетверо. Поэтому, чтобы растянуть такой жгут на то же $\Delta x$, что и целый, придется воздействовать с учетверенной силой. То есть, иными словами, жесткость жгута стала больше в 4 раза. Следовательно,

$$k_2=4k_1$$

Период колебаний $T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ стал равен

$$ T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{4k_1}}=\frac{T_1}{2}$$
Ответ: период стал меньше вдвое.

Задача 2.

Под действием силы $F= 2$ Н пружина растягивается на $\Delta x= 1$ см. К этой пружине прикрепили груз массой $m= 2$ кг. Найти период колебаний данного пружинного маятника.

Найдем жесткость пружины:

$$k=\frac{F}{\Delta x }$$

И подставим в формулу для периода:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{m\Delta x }{F}}=2 \pi \sqrt{\frac{2\cdot 0,01 }{2}}=0,2\pi=0,628$$

Ответ: $T=0,628$ с.

Задача 3.

Если на резиновом шнуре подвесить груз, то шнур растягивается на $l = 39,24$ см. Найти период малых вертикальных колебаний груза.

Найдем жесткость шнура:

$$k=\frac{mg}{l}$$

И подставим в формулу для периода:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{ml }{mg}}=2 \pi \sqrt{\frac{l }{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{0,3924 }{10}}=0,396\pi=1,24$$

Ответ: $T=1,24$ с.

Задача 4.

Период колебаний груза на пружине $T= 0,5$ с. На сколько уменьшится длина пружины, если снять с нее груз?

Период колебаний пружинного маятника:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Возведем в квадрат:
$$T^2=4 \pi^2 \frac{m}{k}$$

Удлинение пружины при действии силы равно:

$$ l =\frac{F}{ k }=\frac{mg}{ k }=g\cdot \frac{m}{ k }$$

А дробь $\frac{m}{ k }$ можно «вытащить» из периода:

$$\frac{m}{ k }=\frac{ T^2}{4 \pi^2 }$$

Тогда удлинение будет равно:

$$ l = g\cdot \frac{m}{ k }=\frac{ gT^2}{4 \pi^2 }=\frac{ 10 \cdot(0,5)^2}{4 \cdot (3,14)^2 }=0,063$$

Ответ: $ l =6,3$ см.

Задача 5.

К пружине подвешена чашка с грузом. Период гармонических колебаний в вертикальном направлении  у этой системы равен $T_1$. После того как на чашку положили дополнительно грузик, период колебаний стал равен $T_2$. Определить, на сколько изменилось положение равновесия у этой системы.

Пусть $T_1$ - период колебаний чашки с грузом.

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$$

Тогда можно определить массу грузика:

$$T_1^2=4 \pi^2 \frac{m_1}{k}}$$

$$m_1=\frac{ T_1^2 k}{4 \pi^2}}$$

После того, как добавили еще груз, период стал $T_2$, следовательно, масса

$$m_2=\frac{ T_2^2 k}{4 \pi^2}}$$

Грузик $m_1$ растягивал пружину на

$$\Delta x_1=\frac{m_1g}{k}$$

А после увеличения груз $m_2$ стал растягивать пружину на

$$\Delta x_2=\frac{m_2g}{k}$$

То есть положение равновесия изменилось на

$$L=\Delta x_2-\Delta x_1=\frac{m_2g}{k}-\frac{m_1g}{k}=\frac{g}{k}(m_2-m_1)$$

Подставим массы:

$$L=\frac{g}{k}\left(\frac{ T_2^2 k}{4 \pi^2}}-\frac{ T_1^2 k}{4 \pi^2}}\right)=\frac{g}{4 \pi^2(T_2^2- T_1^2)}$$

Ответ: $L=\frac{g}{4 \pi^2(T_2^2- T_1^2)}$