Пружинный маятник

В этой статье собраны самые простые, вводные задачи для тех, кто только познакомился с пружинным маятником. Решение таких задач помогает запомнить формулы, а это очень важно для успешной сдачи ЕГЭ.

Задача 1.

Определить период колебания груза массой $m= 0,1$ кг, подвешенного к пружине с коэффициентом жесткости $k =10$ Н/м.
По формуле находим:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{0,1}{10}}=2 \pi\cdot 0,1=0,2 \pi=0,628$$

Ответ: $T=0,628$ с.

Задача 2.

Во сколько раз нужно увеличить коэффициент жесткости пружины, чтобы период колебаний груза, подвешенного на ней, уменьшился в 4 раза?
Пусть сначала период колебаний был равен

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$$
А потом стал меньше в 4 раза:

$$T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}=\frac{T_1}{4}$$

Получили систему:

$$\begin{Bmatrix}{ T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}}\\{\frac{T_1}{4}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}}\end{matrix}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$4=\sqrt{\frac{m k_2}{k_1 m}}$$

Возведя в квадрат правую и левую части, получим:

$$16=\frac{ k_2}{k_1 }$$

То есть $k_2=16k_1$.

Ответ: нужно увеличить жесткость пружины в 16 раз.

Задача 3.

Как изменился период колебаний пружинного маятника, если его масса уменьшилась в $n = 9$  раз?
Пусть сначала период колебаний был равен

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
А потом изменился:

$$T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m}{9k}}=\frac{2 \pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{T_1}{3}$$

Ответ: уменьшился втрое.

Задача 4.

Груз какой мессы следует прикрепить к пружине жесткостью $k= 10$ Н/м, чтобы его период колебаний был равен $Т = 5$ с?

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
$$T^2=4 \pi^2 \frac{m}{k}$$
«Вытащим» массу:

$$m=\frac{T^2 k}{4 \pi^2}=\frac{5^2 \cdot10}{4 \cdot(3,14)^2}=6,33$$

Ответ: $m=6,3$ кг.

Задача 5.

Определить массу груза, который на пружине жесткостью $k= 250$ Н/м делает $n= 20$ колебаний за время $t = 16$ с.

Период – время одного колебания. Тогда

$$T=\frac{t}{n}$$

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
$$T^2=4 \pi^2 \frac{m}{k}$$
«Вытащим» массу:

$$m=\frac{T^2 k}{4 \pi^2}=\frac{t^2 k}{4 n^2 \pi^2}=\frac{16^2 \cdot250}{4 \cdot20^2 \cdot(3,14)^2}=4,05$$

Ответ: $m=4,05$ кг