Маятники: задачи посложнее

В статье предложены задачи немного сложнее, чем вводные задачи на определение периодов математического и пружинного маятников. Также придется вспомнить, как раскладывать вектора на проекции и кинематические формулы.

Задача 1.

В ракете помещены математический и пружинный маятники с одинаковым периодом колебаний $Т= 1$ с. Ракета начинает движение вертикально вверх с ускорением $a=10g$. На выcоте $H= 50$ км двигатель выключается и ракета продолжает подниматься по инерции. Сколько колебаний сделает каждый маятник за время работы двигателя ракеты и за все время подъема? Сопротивлением воздуха и уменьшением силы земного тяготения с высотой пренебречь.

Сначала разберемся с ракетой. Сколько времени ей потребовалось на подъем до 50 км? Как высоко она вообще забралась? Сколько времени длился подъем? Давайте выясним.

Ракета движется равноускоренно в течение времени $t$, с нулевой начальной скоростью, и преодолевает 50 км:

$$H=\frac{at^2}{2}$$

$$t^2=\frac{2H}{a}$$

$$t=\sqrt{\frac{2H}{a}}$$

За это время скорость ракеты все время растет и к моменту выключения двигателя она равна

$$\upsilon=at$$

Теперь полет равнозамедленный, ускорение $g$ тянет ракету к земле, поэтому скорость ее будет постепенно уменьшаться, пока не станет равной нулю в наивысшей точке полета через время $t_1$:

$$\upsilon-gt_1=0$$

$$t_1=\frac{\upsilon }{g}=\frac{at}{g}=10t$$

То есть общее время полета – $11t$. Теперь давайте с маятниками разбираться. Сначала пружинный, так как ему все равно, с каким ускорением двигалась ракета – его период от этого не зависит:

$$T_{pr}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Поэтому за время работы двигателя он сделает $N_{1pr}$ колебаний, а когда двигатель отключится - $N_{2pr}$ колебаний:

$$N_{1pr}=\frac{t}{T}=\sqrt{\frac{2H}{aT^2}}$$

$$N_{2pr}=\frac{10t}{T}=\sqrt{\frac{200H}{aT^2}}$$

Всего за время подъема

$$N_{1pr}+ N_{2pr}=\frac{t}{T}+\frac{10t}{T}=\frac{11t}{T}=\sqrt{\frac{242H}{aT^2}}=\sqrt{\frac{242H}{10gT^2}}$$

Подставим числа:

$$N_{1pr}=\sqrt{\frac{2\cdot50000}{10 \cdot 9,8}}=10\sqrt{10}=31,9$$

$$N_{1pr}+ N_{2pr}=\sqrt{\frac{242\cdot50000}{98,1}}=11\sqrt{1020}=351,4$$

Теперь посмотрим, как колебался математический маятник.

Его период зависит от ускорения, которое воздействует на маятник:

$$T_{mat}=2\pi \sqrt{\frac{l}{a}}$$

На участке подъема, где двигатель работал, на маятник действовало ускорение $10g+g$, следовательно, его период колебаний уменьшился в $\sqrt{11}$ раз, тогда

$$N_{1mat}=\frac{t}{T_1}=\sqrt{\frac{2H}{aT_1^2}}=\sqrt{\frac{22H}{aT^2}}$$

Потом, когда двигатель отключился, на маятник  ускорение  не действовало, так как ракета просто падает, неважно, что у нее есть определенная скорость, пусть даже и большая. Тогда период маятника станет равным бесконечности, следовательно,

$$N_{2mat}=0$$

$$N_{1mat}=\sqrt{\frac{22\cdot50000}{98,1}}=106$$
Получается, что

$$N_{1mat}+ N_{2mat}=106$$

Ответ: $N_{1pr}=32$, $N_{1pr}+ N_{2pr}=351$, $N_{1mat}=106$, $N_{1mat}+ N_{2mat}=106$.

Задача 2.

Математический маятник длиной $l= 1$ м подвешен в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением $a = 6 $ м/с$^2$. Найти период колебаний этого маятника. Какой угол составляет линия отвеса маятника с вертикалью в движущемся вагоне при отсутствии колебаний?

На маятник будет воздействовать ускорение, являющееся суммой $\vec{a}$ и $\vec{g}$:

$$a_1=\sqrt{a^2+g^2}$$

Период колебаний такого маятника равен

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{a_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{a^2+g^2}}}$$

$$T=2 \cdot (3,14) \sqrt{\frac{1}{\sqrt{6^2+10^2}}}=1,84$$

Линия отвеса тоже поменяет положение, отклонившись от вертикали на угол:

$$\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{g}=\operatorname{arctg}0,6=31^{\circ}$$

Ответ: $T=1,84$ с, $\alpha=31^{\circ}$.

Задача 3.

Математический маятник укреплен на тележке. Его период колебаний $Т = 1$ с. Тележка скатывается (без трения) с наклонной плоскости, образующей угол $\alpha =30^{\circ}$ с горизонтом. Найти период колебаний маятника во время скатывания тележки.

Так как тележка скатывается вниз с ускорением, то на маятник будет воздействовать уже не полное ускорение $g$, а только его проекция - $g \cos{\alpha}$.

Когда тележка была неподвижна, период маятника был равен

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Но, когда тележка покатилась вниз, период стал равен

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{l}{ g \cos{\alpha}}}$$

Поэтому, разделив одно выражение на другое, получим:

$$\frac{T_1}{T}=\sqrt{\frac{1}{\cos{\alpha}}}$$

$$T_1= \frac{T}{\sqrt {\cos{\alpha}}}$$

Ответ: $T_1= \frac{T}{\sqrt {\cos{\alpha}}}$