Маятники

Задача 1.

К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 10 колебаний, а другой – 7 колебаний. Чему равна длина каждого маятника, если разность их длин составляет 51 см? В ответ записать длину меньшего маятника в см, округлив до целых.

Решение. Запишем общую формулу для периода математического маятника:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Ясно, что периоды отличаются (у первого маятника меньше, и длина нити, значит, меньше).

$$T_1=2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$$

$$T_2=2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$$

$$10T_1=7T_2$$

Подставим сюда формулы периодов:

$$10 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}=7\cdot 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$$

$$100\cdot \frac{l_1}{g}=49\cdot \frac{l_2}{g}$$

Так как $l_2-l_1=51$,

$$100l_1=49(l_1+51)$$

Ответ: $l_1=49$ см.

Задача 2.

Имеются три математических маятника с периодами 2, 6 и 9 с. Нити этих маятников соединили, получив из трех один маятник. Каков период его колебаний?

Решение. Запишем общую формулу для периода математического маятника:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Возведем в квадрат:

$$T^2=4\pi^2\cdot \frac{l}{g}$$

Длина нити

$$l=\frac{gT^2}{4\pi^2}$$

Складываем длины нитей:

$$l_1+l_2+l_3=\frac{gT_1^2}{4\pi^2}+\frac{gT_2^2}{4\pi^2}+\frac{gT_3^2}{4\pi^2}=\frac{g}{4\pi^2}(T_1^2+T_2^2+T_3^2)$$

$$l_1+l_2+l_3=\frac{121g}{4\pi^2}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l_1+l_2+l_3}{g}}=\sqrt{121}=11$$

Ответ: период составного маятника 11 с.