Колебания: сложные задачи, продолжение.

Статья является продолжением предыдущей, но задачи будут чуть сложнее. А в следующей - еще сложнее, так что разбираемся!

Задача 1.

Однородную по длине пружину жесткости $k$ разрезали на две части так, что отношение их длин равно $n$. С помощью получившихся двух пружин небольшое тело массы $m$ закрепили между двумя стенками так, как показано на рисунке. Обе пружины при этом оказались недеформированными. Пренебрегая массой пружин и силой тяжести, найдите период малых колебаний тела. Трения нет.

По отношению понимаем, что пружину разбили на $n+1$ кусочков, затем один кусочек отрезали. Жесткость такого кусочка равна

$$k_1=k(n+1)$$

Тогда жесткость того, что длиннее в $n$ раз, равна

$$k_2=\frac{ k(n+1)}{n}$$

Если сместить груз из положения равновесия на $\Delta x$, то одна пружина сожмется, другая растянется и тогда сразу две силы упругости начнут действовать на груз:

$$F_1=k_1\Delta x$$

$$F_2=k_2\Delta x$$

И результирующая равна

$$F=F_1+F_2$$

Тогда

$$ma= (k_1+k_2)\Delta x=\left( k(n+1)+ \frac{ k(n+1)}{n}\right)\Delta x=\frac{ k(n+1)^2}{n}\Delta x$$

Следовательно

$$\omega^2=\frac{ k(n+1)^2}{n\cdot m}$$

И период

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{ k(n+1)^2}{n\cdot m}}}=\frac{2\pi}{n+1}\sqrt{\frac{nm}{k}}$$

Ответ: $T=\frac{2\pi}{n+1}\sqrt{\frac{nm}{k}}$.

Задача 2.

Определите период $T$ малых вертикальных колебаний тела массой $m$ в системе, показанной на рисунке, если точка подвеса верхней пружины движется вниз с постоянным ускорением $a<g$. Жесткости пружин равны $k_1$ и $k_2$. Их массами можно пренебречь.

Жесткость системы пружин, соединенных последовательно, вычисляется как

$$k=\frac{k_1k_2}{ k_1+k_2}$$

Вывод этой формулы здесь.

Если груз движется с ускорением $a$, то

$$ma=F_{upr}=k\Delta x$$

$$a=\frac{k}{m}\Delta x$$

$$\omega^2=\frac{k}{m}=\frac{ k_1k_2}{m (k_1+k_2)}$$

Ну и период

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{ k_1k_2}{m (k_1+k_2)}}}= 2\pi\sqrt{\frac{m (k_1+k_2)} { k_1k_2}}$$

Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{m (k_1+k_2)} { k_1k_2}}$.

Задача 3.

Вертикально ориентированная пробирка с дробью на дне плавает в воде. Определите период $T$ малых вертикальных колебаний пробирки, если ее вывели из положения равновесия легким толчком в вертикальном направлении. Площадь поперечного сечения пробирки $S$, плотность воды $\rho_0$, масса пробирки с дробью $m$.

На пробирку действуют силы Архимеда и тяжести. В равновесии для нее можно написать

$$mg=F_A$$

То есть

$$mg=\rho_0 g V_p$$

Тогда масса пробирки

$$m=\rho_0  S x_0$$

Теперь выведем пробирку из положения равновесия. Она погрузится больше после толчка и сила Архимеда станет больше силы тяжести. Появится возвращающая сила в виде разности сил Архимеда и тяжести.

$$F=F_A’-mg=\rho_0 g S (x_0+\Delta x)-mg$$

Тогда ускорение равно

$$ma=\rho_0 g S (x_0+\Delta x)-mg$$

$$a=\frac{\rho_0 g S (x_0+\Delta x)}{m}-g=\frac{\rho_0 g S (x_0+\Delta x)}{ \rho_0  S x_0}-g=g\left(\frac{  (x_0+\Delta x)}{  x_0}-1\right)=g\frac{\Delta x}{  x_0}$$

Мы знаем, что $a=\omega^2 \Delta x$,

$$\omega=\sqrt{\frac{g}{  x_0}}=\sqrt{\frac{g\rho_0 S}{  m}}$$

Или период

$$T=2\pi \sqrt{\frac{  m}{g\rho_0 S}}$$

Ответ: $T=2\pi \sqrt{\frac{  m}{g\rho_0 S}}$

Задача 4.

Небольшой металлический шарик массы $m$ подвешен на нити длины $L$ над бесконечной непроводящей горизонтальной плоскостью, равномерно заряженной с плотностью $\sigma$. Определите период $T$ малых колебаний маятника, если заряд шарика равен $-q$ (заряды шарика и плоскости противоположны по знаку).

Сила Кулона направлена в данном случае так же, как и сила тяжести, поэтому возвращающая сила равна

$$F=mg+Eq$$

$$ma=mg+Eq$$

$$a=g+\frac{Eq}{m}=g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}$$

Период математического маятника равен

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{a}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{ g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}}}$$

Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{ g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}}}$.

Задача 5.

Тонкий поршень массы $m$ расположен в равновесии посередине гладкого горизонтального цилиндрического сосуда диаметра $D$ и длины $L$. По обе стороны от поршня находится идеальный газ, давление которого равно $p_0$. Если поршень сместить из положения равновесия на малое расстояние $a$ и затем отпустить, то он начнет совершать колебания. Определите время, за которое при колебаниях поршень сместится из положения равновесия на расстояние, равное $0,5a$. Трение не учитывать. Процесс считать изотермическим.

Сначала давления в правой и левой частях сосуда одинаковы и равны $p_0$. Когда поршень сместят из положения равновесия, объемы изменятся и справа, и слева, и давления тоже, пусть они станут равными $p_1$ и $p_2$. Тогда

$$p_0V_0=p_1V_1~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$ p_0V_0=p_2V_2$$

Или

$$ p_1V_1= p_2V_2$$

$$p_1 S\left(\frac{L}{2}-a\right)= p_2 S\left(\frac{L}{2}+a\right)$$

Возвращающая сила будет равна

$$F=F_1-F_2=p_1S-p_2S=Sp_1\left(1-\frac{\frac{L}{2}-a }{\frac{L}{2}+a }\right)$$

Из (1) получим, что

$$Sp_1=\frac{p_0S \frac{L}{2}}{\frac{L}{2}-a}$$

Тогда возвращающая сила равна

$$F=\frac{p_0S \frac{L}{2}}{\frac{L}{2}-a}\cdot\left(1-\frac{\frac{L}{2}-a }{\frac{L}{2}+a }\right)=\frac{p_0S\frac{L}{2}\cdot 2a}{\frac{L^2}{4}-a^2}$$

Пренебрежем очень малой величиной $a^2$, тогда

$$F=\frac{4p_0 S L a}{L^2}=\frac{4p_0 S a}{L}$$

$$ma=\frac{4p_0 S a}{L}$$

$$a=\frac{4p_0 S a}{L m}$$

Мы знаем, что $a=\omega^2 a$,

$$\omega=\sqrt{\frac{4p_0 S }{L m}}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L m}{4p_0 S }}=\pi\sqrt{\frac{L m}{p_0 S }}$$

Смещение поршня будет происходить по закону косинуса:

$$x=a\cos \omega t$$

Поэтому при $\frac{a}{2}$

$$\frac{a}{2}= a\cos \omega t$$

$$\cos \omega t=\frac{1}{2}$$

$$\omega t=\frac{\pi}{3}$$

Тогда искомое время

$$ t=\frac{\pi}{3\omega }=\frac{\pi}{6}\sqrt{\frac{L m}{p_0 S }}$$

Подставим, наконец, площадь круга:

$$ t=\frac{\pi}{6}\sqrt{\frac{4L m}{p_0 \pi D^2 }}=\frac{\pi}{3D}\sqrt{\frac{L m}{p_0 \pi }}$$

Ответ: $ t=\frac{\pi}{3D}\sqrt{\frac{L m}{p_0 \pi }}$.