Задачи на малые колебания – всегда не самые простые, а эти предлагают учащимся СУНЦ МГУ в качестве домашнего задания. Начнем с самых простых, затем перейдем к тем, что сложнее. Порешаем?
Задача 1.
Определите период $T$ малых колебаний математического маятника длиной $L$, точка подвеса которого закреплена в кабине лифта, движущегося с постоянным ускорением $a$ а)вниз, б) вверх.
Решение. Показать
При движении лифта вниз для тела, находящегося в нем, можно записать, что
$$ma=mg-N$$
Или
$$N=mg-ma=m(g-a)$$
То есть «эффективное» ускорение – это разность $g-a$. Тогда период колебаний будет
$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g-a}}$$
Аналогично для движущегося вверх лифта
$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$$
Ответ: если лифт идет вниз, $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g-a}}$; если вверх - $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$.
Задача 2.
Определите период $T$ малых колебаний и положение равновесия математического маятника длиной $L$, находящегося в вагоне, движущемся с постоянным горизонтальным ускорением $a$.
Решение.Показать
Горизонтальное ускорение вагона и ускорение свободного падения образуют векторную сумму. Она-то и будет являться «эффективным» ускорением:
$$a_x=\sqrt{g^2+a^2}$$
Тогда период колебаний запишем так:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2}}}$$
В положении равновесия нить маятника отклонится от вертикали на угол
$$\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{g}$$
Ответ: $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2+a^2}}}$, $\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{g}$.
Задача 3.
Груз колеблется по вертикали на резиновом шнуре с частотой $\nu_1$. Какой будет частота $\nu_2$ колебаний груза на этом шнуре, если его сложить вдвое?
Решение.Показать
Частота колебаний на резиновом шнуре может быть записана как
$$\nu_1=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
Если шнур сложить, то он укоротится, и это повлечет изменение жесткости вдвое, и станет толще – а значит, жесткость еще возрастет. Тогда новая частота колебаний
$$\nu_2=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4k}{m}}=2\nu_1$$
Ответ: удвоится.
Задача 4.
Определите период $T$ малых колебаний математического маятника длиной $L=20$ см, если он находится в жидкости, плотность которой в 3 раза меньше плотности материала тела. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.
Решение. Показать
Определим «эффективное» ускорение свободного падения – ускорение, которое действует на тело с учетом того, что в жидкости сила тяжести меньше на силу Архимеда:
$$ma=mg-F_A$$
Пусть плотность жидкости $\rho$, тела - $3\rho$:
$$a=g-\frac{\pho g V}{m}= g-\frac{\pho g V}{3\rho V}=\frac{2g}{3}$$
Период колебаний математического маятника в таких условиях равен
$$T=2\pi \sqrt{\frac{3L}{2g}}=2\pi\sqrt{\frac{0,6}{20}}=1,1$$
Ответ: 1,1 с
Задача 5.
По гладкой горизонтальной направляющей длины $2l$ скользит бусинка с отрицательным зарядом $Q<0$ и массой $m$. На концах направляющей находятся отрицательные заряды $q<0$. Бусинка совершает малые колебания с периодом $T$. Чему будет равен период колебаний бусинки, если ее заряд увеличить в 4 раза?
Решение.Показать
Сначала определим, каков вообще период. Для этого проводим стандартный прием: отклоняем бусинку на малое расстояние $x$ от положения равновесия и смотрим, какая равнодействующая сила на нее действует.
К задаче 5
Со стороны правого заряда
$$F_1=\frac{kqQ}{(l+x)^2}$$
Со стороны левого
$$F_2=\frac{kqQ}{(l-x)^2}$$
Тогда
$$F_{\sum}=F_2-F_1=\frac{kqQ}{(l-x)^2}-\frac{kqQ}{(l+x)^2}$$
Приведем к общему знаменателю:
$$F_{\sum}= kqQ\left(\frac{(l+x)^2-(l-x)^2 }{(l-x)^2(l+x)^2}\right)= kqQ\left(\frac{l^2+2lx+x^2-(l^2-2lx+x^2) }{(l-x)^2(l+x)^2}\right)= kqQ\left(\frac{4lx}{( l^2-2lx+x^2)( l^2+2lx+x^2)}\right)$$
Здесь понадобится еще один прием: $ x^2$ - очень маленькая величина. Поэтому ею можно пренебречь. Тогда
$$F_{\sum}= kqQ\frac{4lx}{( l^2-2lx)( l^2+2lx)}= kqQ\frac{4lx}{( l^4-4l^2x^2)}= kqQ\frac{4lx}{ l^4}= \frac{4x kqQ }{ l^3}$$
Так как
$$ma= F_{\sum}$$
То
$$a=\frac{4x kqQ }{ml^3}$$
Но максимальное ускорение при колебаниях (а мы нашли как раз его) равно
$$a=\omega^2 x$$
Иначе говоря,
$$\omega^2=\frac{4 kqQ }{ml^3}$$
Тогда период колебаний
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\sqrt{\frac{ml^3}{ kqQ }}$$
Если заряд $Q$ увеличить в 4 раза, то период уменьшится вдвое.
Ответ: в 2 раза.
Простая физика