Рубрики

Колебания: олимпиадная подготовка -3

06.09.2022 04:02:33 | Автор: Анна

В задачах, представленных в статье, главной целью было решить через энергетический подход.

Задача 1.

Один конец жесткой невесомой штанги длиной Колебания: олимпиадная подготовка -3 шарнирно закреплен в точке Колебания: олимпиадная подготовка -3, а к ее другому концу прикреплена пружина жесткостью Колебания: олимпиадная подготовка -3 (см. рис. 20.3). На расстоянии Колебания: олимпиадная подготовка -3 от точки Колебания: олимпиадная подготовка -3 на штанге закреплен небольшой по размерам груз массой Колебания: олимпиадная подготовка -3. В положении равновесия штанга горизонтальна, а ось пружины вертикальна. Найдите период малых колебаний груза в вертикальной плоскости.


К задаче 1

Решение. При смещении конца штанги на величину Колебания: олимпиадная подготовка -3 место крепления груза сместится на Колебания: олимпиадная подготовка -3, кроме того, груз в процессе перехода из положения равновесия в нижнее положение может приобрести скорость Колебания: олимпиадная подготовка -3. Поэтому полная энергия системы будет равна (отклоняем конец штанги на Колебания: олимпиадная подготовка -3 вниз)

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Возьмем производную:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Сократим на Колебания: олимпиадная подготовка -3:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Представим теперь иначе:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Теперь, чтобы получить классическое уравнение колебаний, перейдем к Колебания: олимпиадная подготовка -3, тогда имеем

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Откуда

Колебания: олимпиадная подготовка -3

А период

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Ответ: Колебания: олимпиадная подготовка -3

Задача 2.

Жидкость объемом 16 смКолебания: олимпиадная подготовка -3 налита в трубку, представленную на картинке. Площадь сечения 0,5 смКолебания: олимпиадная подготовка -3. Одно колено трубки вертикально, а другое наклонено под углом Колебания: олимпиадная подготовка -3. Определите период колебаний жидкости в трубке.


К задаче 2

Решение. Так как трубка наклонена, то площадь поверхности воды в наклонной части уже не будет равна Колебания: олимпиадная подготовка -3, а будет равна

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Пусть при возникших колебаниях жидкость сместилась. Пусть уровень ее в вертикальном левом колене опустился на Колебания: олимпиадная подготовка -3. Тогда объем жидкости в вертикальном колене изменился на

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Точно такой же объем перейдет в наклонное колено. Но, так как площадь поверхности наклонного цилиндра другая, то и высота его другая.

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Итак, ушедший из левого колена столбик перешел в правое, где расположился выше прежнего уровня на Колебания: олимпиадная подготовка -3:


Что изменилось при перемещении столба жидкости?

При этом центр тяжести этого малого столбика сместился на

Колебания: олимпиадная подготовка -3

При перемещении жидкости во время колебаний изменилась ее потенциальная энергия (за счет смещения малого столбика), и также изменилась кинетическая энергия – вследствие того, что вся вода в трубке пришла в движение. Тогда:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Здесь Колебания: олимпиадная подготовка -3 - масса малого столбика, Колебания: олимпиадная подготовка -3 - масса всей жидкости.

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Откуда

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Тогда

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Ответ: 0,82 с.

Задача 3.

Предположим, что на некоторой высоте над поверхностью планеты, лишённой атмосферы, установлен «маятник», представляющий собой стержень пренебрежимо малой массы с двумя одинаковыми грузиками на концах. Стержень может вращаться без трения на оси, проходящей через его середину и параллельной поверхности планеты. Первоначально стержень располагался вертикально. Затем его отклонили на небольшой угол и отпустили. Найдите период Колебания: олимпиадная подготовка -3 возникших при этом малых колебаний маятника. Выразите ответ через период обращения Колебания: олимпиадная подготовка -3 искусственного спутника, движущегося по круговой орбите вокруг планеты на высоте, равной высоте центра стержня. Вращение планеты вокруг своей оси и влияние других небесных тел не учитывайте.


К задаче 3

Решение. При отклонении маятника от положения равновесия возникнет возвращающая сила, являющаяся проекцией силы тяготения:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3 - тангенциальное ускорение, порождаемое возвращающей силой.

Здесь Колебания: олимпиадная подготовка -3 - расстояния от грузиков до центра планеты.

Сложим уравнения:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Для треугольника Колебания: олимпиадная подготовка -3 теорема синусов:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Для треугольника Колебания: олимпиадная подготовка -3 теорема синусов:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Выразим синусы углов Колебания: олимпиадная подготовка -3 и Колебания: олимпиадная подготовка -3 через угол Колебания: олимпиадная подготовка -3:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Подставим эти выражения в выражение для Колебания: олимпиадная подготовка -3:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Раскроем разность кубов:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Так как смещение маятника мало, то можно принять следующие допущения:

Колебания: олимпиадная подготовка -3. Тогда:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Произведение Колебания: олимпиадная подготовка -3 равно длине дуги, которую прошли при повороте штанги шарики, но, так как дуга мала, можно считать, что это длина хорды. Поэтому

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Теперь выявился период колебаний:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Получим период обращения спутника:

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Таким образом,

Колебания: олимпиадная подготовка -3

Ответ: Колебания: олимпиадная подготовка -3.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий

Облако меток