Колебания и волны: скорости и ускорения

В этой статье мы вспомним кинематику: то, что скорость  - производная координаты, а ускорение - производная скорости или вторая производная координаты. Заодно потренируемся брать производные от сложных функций.

Задача 1.

Материальная точка совершает гармонические колебания по закону $x = 1,2 \cos \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})$. Определить амплитуду, круговую частоту, период и начальную фазу колебаний. Найти амплитуды скорости и ускорения. Построить графики зависимости координаты. скорости и ускорения точки от времени.

Амплитуда равна $A=1,2$, круговая частота (или циклическая, или угловая) равна $\omega=\frac{2\pi}{3}$, начальная фаза равна $\psi_0=\frac{\pi}{4}$, период колебаний - $T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi \cdot 3}{2\pi}=3$ с.

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

$$\upsilon=x^{\prime}=A \omega \sin \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})$$

$$a=\upsilon^{\prime}=x’’=-A\omega^2\cos \pi(\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})$$

Тогда $\upsilon_{max}= A \omega=1,2\frac{2\pi}{3}=0,8\pi=2,51$ м/с.

$$a_{max}= A\omega^2=1,2\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2=5,26 $$

Ответ: амплитуда $A=1,2$, круговая частота $\omega=\frac{2\pi}{3}$, начальная фаза $\psi_0=\frac{\pi}{4}$, период колебаний - $T=3$ с, $\upsilon_{max}=2,51$ м/с, $a_{max}=5,26 $ м/с$^2$

Задача 2.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой $f= 0,5$ Гц. Амплитуда колебаний А =3 см. Определить скорость точки в момент времени, когда смещение $x= 1,5$ см.

Запишем закон колебаний. Так как не указано, по какому закону они совершаются, то выберем косинус.

$$x=A\cos(\omega t+\psi_0)$$

$$\omega=2 \pi f=\pi$$

$$\frac{x}{A}=\cos(\omega t+\psi_0)$$

$$\frac{x^2}{A^2}=\cos^2(\omega t+\psi_0)$$

$$1-\frac{x^2}{A^2}=\sin^2(\omega t+\psi_0)$$

$$\sin(\omega t+\psi_0)=\sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}$$

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

$$\upsilon=x^{\prime}=-A \omega  \sin (\omega t+\psi_0)$$

$$\upsilon=x^{\prime}=- A \omega  \sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}=-\omega \sqrt{A^2-x^2}$$

$$\upsilon=-\pi \sqrt{9-2,25}=-8,16$$

Ответ: $\upsilon=-8,16$ см/с.

Задача 3.

Написать закон гармонического колебания точки, если максимальное ускорение ее $a_{max}= 49,3$ см/с2, период колебаний $T = 2$ с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени $x_0 = 2,5$ см. Колебания совершаются по закону синуса.

$$x=A\sin(\omega t+\psi_0)$$

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

В момент времени $t=0$ смещение равно 2,5 см:
$$x_0=A\sin(\psi_0)= 2,5$$

Выясним, какая у точки амплитуда колебаний. Для этого определим скорость (первую производную) и ускорение(вторую производную):

$$\upsilon=x^{\prime}=-A \omega \cos( \omega t+\psi_0)$$

$$a=\upsilon^{\prime}=x’’=-A\omega^2\sin( \omega t+\psi_0)$$

Максимальное ускорение – это амплитуда ускорения, то есть

$$a_{max}= A\omega^2$$

Откуда $A$:

$$A=\frac{ a_{max}}{\omega^2}=5$$

Тогда в момент времени $t=0$:

$$x_0=\frac{ a_{max}}{\omega^2}\sin(\psi_0)$$

Определим начальную фазу:

$$\sin(\psi_0)=\frac{x_0 \omega^2}{ a_{max}}$$

$$\sin(\psi_0)=\frac{2,5 \pi^2}{49,3}=0,5$$

$$\alpha=\arcsin(0,5)=30^{\circ}$$

Закон колебаний тогда будет таким:

$$x=5\sin(\pi t+\frac{\pi}{6})$$

Ответ: $x=5\sin(\pi t+\frac{\pi}{6})$ см.