Двумерные колебания

Сложная задача про колебания сразу по двум осям. Сложная, но при владении некоторыми приемами (как, например, вовремя и грамотно пренебречь величиной второго порядка малости) решабельная.

Задача. На гладкой горизонтальной поверхности находится грузик, прикрепленный двумя одинаковыми пружинами к стенке. Когда грузик находится в положении равновесия, пружины имеют одинаковое растяжение $\delta$. Введём систему координат $Oxy$ (см. рисунок). Траектория грузика, совершающего малые колебания, изображена на рисунке. Определите $\delta$, если длина пружины в нерастянутом состоянии равна $a$.

Двумерные колебания

Решение. Как обычно, когда рассматриваем задачу на колебания, надо отклонить грузик чуть-чуть и потом рассмотреть возникшие возвращающие силы.

$$F_1=k\Delta l_1$$

$$F_2=k\Delta l_2$$

Небольшое отклонение по обеим осям

Где $\Delta l_1$ и $\Delta l_2$ - удлинения левой и правой пружин соответственно.

$$\Delta l_1=\sqrt{(x+a+\delta)^2+y^2}-a$$

$$\Delta l_2=\sqrt{(-x+a+\delta)^2+y^2}-a$$

Где $x$ и $y$ малы по сравнению с $a$ и $\delta$. Тогда

$$\Delta l_1=\sqrt{(x+a+\delta)^2+y^2}-a=(a+\delta)\sqrt{\left(1+\frac{x}{a+\delta }\right)^2+\left(\frac{y}{a+\delta }\right)^2}-a$$

$$\frac{y}{a+\delta }\approx 0$$

$$\frac{x}{a+\delta }\approx 0$$

$$\Delta l_1=(a+\delta)\sqrt{1+\frac{2x}{ a+\delta}}-a$$

Далее используем переход:

$$(1+b)^n=1+nb$$

У нас $n=\frac{1}{2}$:

$$\Delta l_1=(a+\delta) \left (1+\frac{x}{a+\delta}\right)-a=a+\delta+x-a= \delta+x $$

$$\Delta l_2=\sqrt{(-x+a+\delta)^2+y^2}-a=(a+\delta)\sqrt{\left (1-\frac{x}{a+\delta }\right)^2+\left(\frac{y}{a+\delta }\right)^2}-a$$

$$\Delta l_2=(a+\delta)\sqrt{1-\frac{2x}{ a+\delta}}-a$$

$$\Delta l_2=(a+\delta) \left(1-\frac{x}{a+\delta}\right)-a=a+\delta-x-a= \delta-x $$

Получаем

$$F_1=k(\delta +x)$$

$$F_2=k(\delta -x)$$

Доказали, что пружина по оси $y$ практически не растянута.

Составляем уравнение  по второму закону Ньютона в проекциях на ось $x$:

$$-F_1\cos\alpha-F_2\cos \beta=m\ddot x$$

Так как углы малы, их косинусы практически равны 1.

$$-kx- k\delta-kx+ k\delta=m\ddot x$$

$$ m\ddot x+2kx=0$$

Получили уравнение колебаний:

$$\omega_x=\sqrt{\frac{2k}{m}}$$

Это эквивалентно параллельному соединению пружин.

Составляем уравнение  по второму закону Ньютона в проекциях на ось $y$:

$$ F_2\sin \beta- F_1\sin\alpha- =m\ddot y$$

$$ k(\delta -x)\frac{y}{a+\delta-x}- k(\delta +x)\frac{y}{a+\delta+x}=m\ddot y$$

$$ky\left(\frac{\delta -x }{ a+\delta-x }-\frac{\delta +x }{ a+\delta+x }\right)= m\ddot y$$

$$\frac{ky}{ a+\delta }\left(\frac{\delta -x }{1-\frac{x}{ a+\delta }}-\frac{\delta +x }{1+\frac{x}{ a+\delta }}\right) = m\ddot y$$

Приводим левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{ky}{ a+\delta }\frac{x-\frac{\delta x }{a+\delta}-\delta+\frac{x^2}{ a+\delta }-\delta - x +\frac{\delta x}{ a+\delta}+\frac{x^2}{ a+\delta }}{1-\frac{x^2}{( a+\delta)^2}}  = m\ddot y$$

Некоторые слагаемые стремятся к нулю, другие взаимно уничтожатся:

$$-\frac{2\delta k y}{m(a+\delta)}= \ddot y$$

$$\omega_y=\sqrt{\frac{2\delta k }{ m(a+\delta)}}$$

Так как из рисунка ясно, что за время одного колебания по оси $y$ тело делает три колебания по оси $x$, то

$$\omega_x=3\omega_y$$

$$\sqrt{\frac{2k}{m}}=3\sqrt{\frac{2\delta k }{ m(a+\delta)}}$$

$$1=9\frac{\delta}{a+\delta}$$

$$8\delta=a$$

$$\delta =\frac{a}{8}$$