Задача об автомобиле - минимальный путь

Задача:

Автомобиль, едущий со скоростью $\upsilon_0$, в некоторый момент начинает движение с таким постоянным ускорением, что за время $\tau$ пройденный им путь $s$ оказывается минимальным. Определите этот путь $s$.
Решение. Если движение таково, как на графике ниже, то оптимизировать путь не получится – он будет оставаться равным площади треугольника под графиком скорости, у которого фиксированные высота и основание.

Значит, путь состоит из двух кусков – туда и обратно. То есть, иными словами, скорость стала равна нулю раньше, чем прошло время $\tau$. Пусть скорость стала равна нулю в момент времени $t_1$.

Путь тогда будет равен $$s=\frac{\upsilon_0 t_1}{2}+\frac{(\tau-t_1)\upsilon_x}{2}$$
Скорость, которую автомобиль набрал после остановки и разворота движения:$$\upsilon_x=a(\tau-t_1)$$
$$s=\frac{\upsilon_0 t_1}{2}+\frac{a(\tau-t_1)^2}{2}$$
Так как скорость автомобиля убыла с $\upsilon_0$ до нуля за время $t_1$, то ускорение равно
$$a=-\frac{\upsilon_0}{t_1}$$
Тогда путь
$$s=\frac{\upsilon_0 t_1}{2}+\frac{\upsilon_0 (\tau-t_1)^2}{2t_1}$$
И вот это нам и надо минимизировать. Для учеников 11 класса можно предложить решение с помощью производной:
$$s=\frac{\upsilon_0 t_1}{2}+\frac{\upsilon_0 \tau^2}{2t_1}-\frac{2\upsilon_0 \tau t_1}{2t_1}+\frac{\upsilon_0 t_1^2}{2t_1}$$
$$s=\frac{\upsilon_0 t_1}{2}+\frac{\upsilon_0 \tau^2}{2t_1}-\upsilon_0 \tau+\frac{\upsilon_0 t_1}{2}$$
$$s=\upsilon_0 t_1+\frac{\upsilon_0 \tau^2}{2t_1}-\upsilon_0 \tau$$
$$\frac{ds}{dt_1}=\upsilon_0-\frac{\upsilon_0 \tau^2}{2t_1^2}=0$$
$$1-\frac{\tau^2}{2t_1^2}=0$$
Откуда
$$\tau^2=2t_1^2$$
$$\tau=\sqrt{2}t_1$$
Таким образом, путь, состоящий из площади двух треугольников, будет равен
$$s=\frac{\upsilon_0 \tau}{2\sqrt{2}}+\frac{at_1^2(\sqrt{2}-1)^2}{2}$$
$$s=\frac{\upsilon_0 \tau}{2\sqrt{2}}+\frac{\upsilon_0\tau^2(\sqrt{2}-1)^2}{4t_1}$$
$$s=\frac{\upsilon_0 \tau}{2\sqrt{2}}+\frac{\upsilon_0\tau^2(\sqrt{2}-1)^2}{2\sqrt{2}\tau}$$
$$s=\frac{\upsilon_0 \tau}{2\sqrt{2}}+\frac{\upsilon_0\tau(\sqrt{2}-1)^2}{2\sqrt{2}}$$
$$s=\frac{\upsilon_0 \tau}{2\sqrt{2}}+\frac{\upsilon_0\tau(2-2\sqrt{2}+1)}{2\sqrt{2}}$$
$$s=\frac{4\upsilon_0 \tau}{2\sqrt{2}}-\upsilon_0\tau$$
$$s=\upsilon_0 \tau(\sqrt{2}-1)$$
Ответ: $s=\upsilon_0 \tau(\sqrt{2}-1)$


Решение без производной. Вернемся к нашему пути.

 
$$s=\frac{\upsilon_0 t_1}{2}+\frac{\upsilon_0 (\tau-t_1)^2}{2t_1}$$
Преобразуем
$$\frac{2st_1}{\upsilon_0}=t_1^2+(\tau-t_1)^2$$
$$t_1^2-(\tau+\frac{s}{\upsilon_0})t_1+\frac{\tau^2}{2}=0$$
Получили квадратичную функцию.
$$D=\left(\tau+\frac{s}{\upsilon_0}\right)^2-2\tau^2=\left(\tau+\frac{s}{\upsilon_0}-\sqrt{2}\tau\right) \left(\tau+\frac{s}{\upsilon_0}+\sqrt{2}\tau\right)$$
Дискриминант равен нулю (тогда корень единственный, и это вершина, и это минимум – так как парабола ветвями вниз!) при
$$\tau+\frac{s}{\upsilon_0}-\sqrt{2}\tau=0$$
Откуда
$$s=\upsilon_0 \tau(\sqrt{2}-1)$$
Ответ: $s=\upsilon_0 \tau(\sqrt{2}-1)$.

И еще одно рассуждение, могущее привести к верному ответу:

$$s=\frac{\upsilon_0 t_1}{2}+\frac{\upsilon_0 \tau^2}{2t_1}-\frac{\upsilon_0 \tau t_1}{2t_1}+\frac{\upsilon_0t_1^2}{2t_1}$$
$$s=\upsilon_0 t_1+\frac{\upsilon_0 \tau^2}{2t_1}-\frac{\upsilon_0 \tau {2}$$
Видно, что повлиять на последнее слагаемое мы не можем – оно не зависит от $t_1$. Тогда надо минимизировать сумму
$$\upsilon_0 t_1+\frac{\upsilon_0 \tau^2}{2t_1}$$
А такая сумма, согласно неравенству Коши, минимальна, если
$$\upsilon_0 t_1=\frac{\upsilon_0 \tau^2}{2t_1}$$
Откуда
$$\tau^2=2t_1^2$$
Ну и далее отыскать путь $s$.
Ответ: $s=\upsilon_0 \tau(\sqrt{2}-1)$.