Задача об автомобиле - минимальный путь

Задача:

Автомобиль, едущий со скоростью , в некоторый момент начинает движение с таким постоянным ускорением, что за время пройденный им путь оказывается минимальным. Определите этот путь .
Решение. Если движение таково, как на графике ниже, то оптимизировать путь не получится – он будет оставаться равным площади треугольника под графиком скорости, у которого фиксированные высота и основание.

Значит, путь состоит из двух кусков – туда и обратно. То есть, иными словами, скорость стала равна нулю раньше, чем прошло время . Пусть скорость стала равна нулю в момент времени .

Путь тогда будет равен
Скорость, которую автомобиль набрал после остановки и разворота движения:

Так как скорость автомобиля убыла с до нуля за время , то ускорение равно

Тогда путь

И вот это нам и надо минимизировать. Для учеников 11 класса можно предложить решение с помощью производной:





Откуда


Таким образом, путь, состоящий из площади двух треугольников, будет равен







Ответ: 


Решение без производной. Вернемся к нашему пути.

 

Преобразуем


Получили квадратичную функцию.

Дискриминант равен нулю (тогда корень единственный, и это вершина, и это минимум – так как парабола ветвями вниз!) при

Откуда

Ответ: .

И еще одно рассуждение, могущее привести к верному ответу:

Видно, что повлиять на последнее слагаемое мы не можем – оно не зависит от . Тогда надо минимизировать сумму

А такая сумма, согласно неравенству Коши, минимальна, если

Откуда

Ну и далее отыскать путь .
Ответ: .