Разделы сайта

Категория:

Кинематика ...

Задача об автомобиле - минимальный путь

18.10.2022 15:05:59 | Автор: Анна

Задача: Автомобиль, едущий со скоростью Задача об автомобиле - минимальный путь, в некоторый момент начинает движение с таким постоянным ускорением, что за время Задача об автомобиле - минимальный путь пройденный им путь Задача об автомобиле - минимальный путь оказывается минимальным. Определите этот путь Задача об автомобиле - минимальный путь.
Решение. Если движение таково, как на графике ниже, то оптимизировать путь не получится – он будет оставаться равным площади треугольника под графиком скорости, у которого фиксированные высота и основание.
https://easy-physic.ru/images/img_rec1024/zadacha-ob-avtomobile-minimalnyiy-put_1024x1024_2_vs_1666094829.jpg
Значит, путь состоит из двух кусков – туда и обратно. То есть, иными словами, скорость стала равна нулю раньше, чем прошло время Задача об автомобиле - минимальный путь. Пусть скорость стала равна нулю в момент времени Задача об автомобиле - минимальный путь.
Задача об автомобиле - минимальный путь
Путь тогда будет равен Задача об автомобиле - минимальный путь
Скорость, которую автомобиль набрал после остановки и разворота движения:Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Так как скорость автомобиля убыла с Задача об автомобиле - минимальный путь до нуля за время Задача об автомобиле - минимальный путь, то ускорение равно
Задача об автомобиле - минимальный путь
Тогда путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
И вот это нам и надо минимизировать. Для учеников 11 класса можно предложить решение с помощью производной:
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Откуда
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Таким образом, путь, состоящий из площади двух треугольников, будет равен
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Ответ: Задача об автомобиле - минимальный путь

Решение без производной. Вернемся к нашему пути.

 
Задача об автомобиле - минимальный путь
Преобразуем
Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Получили квадратичную функцию.
Задача об автомобиле - минимальный путь
Дискриминант равен нулю (тогда корень единственный, и это вершина, и это минимум – так как парабола ветвями вниз!) при
Задача об автомобиле - минимальный путь
Откуда
Задача об автомобиле - минимальный путь
Ответ: Задача об автомобиле - минимальный путь.

И еще одно рассуждение, могущее привести к верному ответу:

Задача об автомобиле - минимальный путь
Задача об автомобиле - минимальный путь
Видно, что повлиять на последнее слагаемое мы не можем – оно не зависит от Задача об автомобиле - минимальный путь. Тогда надо минимизировать сумму
Задача об автомобиле - минимальный путь
А такая сумма, согласно неравенству Коши, минимальна, если
Задача об автомобиле - минимальный путь
Откуда
Задача об автомобиле - минимальный путь
Ну и далее отыскать путь Задача об автомобиле - минимальный путь.
Ответ: Задача об автомобиле - минимальный путь.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Архивы