Задача о двух дорогах

Еще одна задача на кинематику. Мало физики - больше математики. Но это мое мнение.

Задача. Две дороги, прямая и кольцевая радиуса $R$, имеют одну общую точку. В точке их касания стоят два автомобиля. Один из них начинает двигаться по прямой дороге равномерно со скоростью $\upsilon$. Другой автомобиль двигается по кольцевой дороге так, чтобы все время находиться на отрезке, соединяющем первый автомобиль с центром кольцевой дороги. Определите величину ускорения второго автомобиля в тот момент, когда он прошел по кольцевой дороге дугу величины $\alpha$.

Рисунок к задаче

Решение. Разложим скорость первого автомобиля на две составляющие: перпендикулярную отрезку, соединяющему первый автомобиль с центром кольцевой дороги ($\upsilon \cos \alpha$), и совпадающую по направлению с этим отрезком ($\upsilon \sin \alpha$).

Получается, линейная скорость данного отрезка при его вращении равна $\upsilon \cos \alpha$, а угловая скорость равна

$$\omega=\frac{\upsilon \cos \alpha}{l}$$

Такова же и угловая скорость второго автомобиля.

Две дороги - векторы скоростей

Его линейная скорость тогда

$$u=\omega R=\upsilon \cos^2\alpha$$

А его нормальное ускорение тогда

$$a_n =\frac{u^2}{R}=\frac{\upsilon^2 \cos^4\alpha}{R}$$

Так как

$$ u=\upsilon \cos^2\alpha=\frac{\upsilon R^2}{l^2}~~~~~~~~~~~(1)$$

То понятно, что скорость $u$ уменьшается (числитель постоянен, знаменатель растет). То есть второй автомобиль замедляет свое движение по окружности – он имеет тангенциальную составляющую ускорения, причем она направлена против $u$.

Пусть $\Delta u$ - уменьшение скорости второго автомобиля за промежуток времени $\Delta t$.

По аналогии с (1), запишем новую скорость:

$$u-\Delta u=\frac{\upsilon R^2}{(l+\Delta l)^2}$$

Выразим $\Delta u$:

$$\Delta u=\frac{\upsilon R^2}{l^2}-\frac{\upsilon R^2}{(l+\Delta l)^2}=\frac{\upsilon R^2(l+\Delta l)^2-\upsilon R^2l^2}{l^2(l+\Delta l)^2}=$$

$$=\frac{\upsilon R^2(l^2+2l\Delta l+\Delta l^2-l^2)}{l^2(l+\Delta l)^2}=\frac{\upsilon R^2(2l\Delta l+\Delta l^2)}{l^2(l+\Delta l)^2}$$

Пренебрегаем в числителе величиной $\Delta l^2$ - второго порядка малости.

$$\Delta u=\frac{\upsilon R^2\cdot 2l\Delta l}{l^2(l+\Delta l)^2}$$

А в знаменателе можно заменить сумму $l+\Delta l$ на $l$, так как $\Delta l$ - мала.

Получим:

$$\Delta u=\frac{\upsilon R^2\cdot 2l\Delta l}{l^4}=\frac{\upsilon R^2\cdot 2\Delta l}{l^3}$$

С другой стороны, $\Delta l$ - расстояние, пройденное со скоростью $\upsilon \sin \alpha$ за время $\Delta t$:

$$\Delta l=\upsilon \sin \alpha\Delta t$$

А тангенциальное ускорение второго автомобиля – это изменение его скорости за время $\Delta t$:

$$a_{\tau}=\frac{\Delta u}{\Delta t}=\frac{2\upsilon R^2\cdot \Delta l }{l^3\Delta t}=\frac{2\upsilon R^2\cdot \upsilon \sin \alpha}{l^3}=\frac{2\upsilon^2 R^2\cdot\sin \alpha}{l^3}$$

Перепишем так:

$$a_{\tau}=\frac{2\upsilon^2 \cdot\sin \alpha}{l}\cdot \frac{R^2}{l^2}=\frac{2\upsilon^2 \cdot\sin \alpha\cos^2 \alpha}{l}$$

$$a_{\tau}=\frac{2\upsilon^2 \cdot\sin \alpha\cos^3 \alpha}{R}$$

Ну вот, теперь у нас есть обе составляющие ускорения, и мы можем найти его:

$$a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau}^2}=\sqrt{\left(\frac{\upsilon^2\cos^4\alpha}{R}\right)^2+\left(\frac{2\upsilon^2 \cdot\sin \alpha\cos^3 \alpha }{R}\right)^2}$$

$$a=\frac{\upsilon^2}{R}\cos^3 \alpha\sqrt{\cos^2\alpha+2\sin^2 \alpha}=\frac{\upsilon^2}{R}\cos^3 \alpha\sqrt{1+3\sin^2 \alpha}$$

Ответ: $a=\frac{\upsilon^2}{R}\cos^3 \alpha\sqrt{1+3\sin^2 \alpha}$