Задачи ЕГЭ на равноускоренное движение

Задачи для этой статьи взяты из книги "Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач." Задачи не сложные, но требующие внимательности, и аккуратности при составлении уравнений. И снова тот же совет: решать больше самостоятельно. Но примеры решений всегда полезны.

Задача 1.

За время $t=2$ с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло путь $S=20$ м, увеличив свою скорость в $n=3$ раза. Определите конечную скорость тела.

Пусть скорость тела была $\upsilon_0$, тогда через 2 с она стала равна $\upsilon=3\upsilon_0$.  Зная путь, пройденный телом, можем найти ускорение:

$$\upsilon^2-\upsilon_0^2=2aS$$

$$a=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{2S}=\frac{8\upsilon_0^2}{2S}=\frac{4\upsilon_0^2}{S}$$

Тогда можно записать пройденный телом путь как:

$$S=\upsilon_0 t+\frac{4\upsilon_0^2}{S} \frac{t^2}{2}=\upsilon_0 t+\frac{2\upsilon_0^2t^2}{S}$$

Получили квадратное уравнение относительно $\upsilon_0$, решим его:

$$\frac{2\upsilon_0^2t^2}{S}+\upsilon_0 t-S=0$$

$$D=t^2+4S\frac{2t^2}{S}=9t^2$$

$$\upsilon_0=\frac{(-t+3t)S}{4t^2}=\frac{S}{2t}=5$$

Конечная скорость тогда равна $3\upsilon_0=15$ м/с.

Ответ: 15 м/с.

Задача 2.

Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 10 м/с. Через $t=5$ с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с ускорением 3 м/с$^2$. На каком расстоянии $S$ от остановки мотоциклист догонит грузовик?

Путь, пройденный мотоциклистом, равен:

$$S=\frac{at_m^2}{2}$$

Путь, пройденный грузовиком до и за время движения мотоцикла:

$$S=\upsilon (t_m+t)$$

Приравняем и решим квадратное уравнение относительно $t_m$:

$$\frac{at_m^2}{2}=\upsilon (t_m+t)$$

$$\frac{at_m^2}{2}-\upsilon (t_m+t)=0$$

$$D=\upsilon^2+2at \upsilon=400$$

$$t_m=\frac{\upsilon+\sqrt{D}}{a}=\frac{10+20}{3}=10$$

Тогда от остановки встреча произошла на расстоянии $\upsilon (t_m+t)=10 \cdot 15=150$ м.

Ответ: 150 м.

Задача 3.

Пассажир, стоящий на перроне, заметил, что первый вагон электропоезда, приближающегося к станции, прошел мимо него в течение $t_1=4$ с, а второй – в течение $t_2=5$ с. Определить ускорение поезда $a$, если передний конец поезда остановился на расстоянии $L=75$ м от пассажира? Движение поезда считать равнозамедленным.

Обозначим длину вагона $L$. Поезд  подошел к пассажиру со скоростью $\upsilon_0$. Тогда для первого вагона запишем:

$$L=\upsilon_0 t_1-\frac{at_1^2}{2}$$

Второй вагон подошел к пассажиру уже со скоростью $\upsilon_1$:

$$\upsilon_1=\upsilon_0-a t_1$$

Тогда для  второго вагона:

$$L=\upsilon_1 t_2-\frac{at_2^2}{2}=(\upsilon_0-a t_1) t_2-\frac{at_2^2}{2}$$

Так как поезд затем полностью остановился, то
$$\upsilon_0^2-\upsilon_k^2=-2aS$$

$$\upsilon_0^2=-2aS$$

$$a=-\frac{\upsilon_0^2}{2S}$$

Приравняем выражения, записанные для первого и второго вагонов:

$$\upsilon_0 t_1-\frac{at_1^2}{2}=(\upsilon_0-a t_1) t_2-\frac{at_2^2}{2}$$

$$\upsilon_0 (t_1-t_2)=a \left(\frac{t_1^2}{2}- t_1 t_2-\frac{t_2^2}{2}\right)$$

Подставим $a=-\frac{\upsilon_0^2}{2S}$:

$$\upsilon_0 (t_1-t_2)= -\frac{\upsilon_0^2}{2S} \left(\frac{t_1^2}{2}- t_1 t_2-\frac{t_2^2}{2}\right)$$

Разделим на $\upsilon_0$ обе части:

$$(t_1-t_2)= -\frac{\upsilon_0}{2S} \left(\frac{t_1^2}{2}- t_1 t_2-\frac{t_2^2}{2}\right)$$

Выразим $\upsilon_0$:

$$\upsilon_0=\frac{2S(t_1-t_2)}{\left(-\frac{t_1^2}{2}+ t_1 t_2+\frac{t_2^2}{2}\right)}$$

$$\upsilon_0=\frac{4S(t_1-t_2)}{\left(-t_1^2+ 2t_1 t_2+t_2^2}\right)}$$

Чтобы найти ускорение, найдем квадрат скорости:

$$\upsilon_0^2=\frac{16S^2(t_1-t_2)^2}{\left(-t_1^2+2t_1 t_2+t_2^2}\right)^2}$$

Тогда искомое ускорение:

$$a=-\frac{\upsilon_0^2}{2S}=-\frac{8S(t_1-t_2)^2}{\left(-t_1^2+2t_1 t_2+t_2^2\right)^2}=-\frac{8\cdot 75}{\left(-16+2\cdot4 \cdot 5+25\right)^2}=-0,25$$

Ответ: $a=-0,25$ м/c$^2$.