Свободное падение и встречи в воздухе

Задачи, представленные в этой статье, несложные, однако требуют умения анализировать ситуацию. Поэтому нужно хорошо представлять себе, что происходит,  и как происходящие события зависят от данных  задачи.

Задача 1.

Мяч свободно падает с высоты $h=15$ м на горизонтальную поверхность. При каждом отскоке его скорость уменьшается в $n=2$ раза. Найти путь, пройденный мячом до полной остановки.

К задаче 1

Мячик падает с высоты $h$, следовательно, можно найти его скорость при ударе о пол:

$$\upsilon_1=\sqrt{2gh}$$

Так как скорость уменьшится при ударе вдвое, то начальная скорость при отскоке мяча и его движении вверх равна $\upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{2}$, и такой же эта скорость будет перед вторым ударом. Когда шарик отскочит в третий раз, его скорость будет уже  $\upsilon_3=\frac{\upsilon_2}{2}$, и так далее. Найдем путь, пройденный мячом:

$$S=h+2h_2+2h_3+\ldots$$

$h_2$ - высота, на которую поднимется мячик после первого удара, $h_3$ - после второго и т.д. Тогда:

$$h_2=\frac{\upsilon_2^2}{2g}$$

$$h_3=\frac{\upsilon_3^2}{2g}$$

$$S=h+\frac{\upsilon_2^2}{2g}+\frac{\upsilon_3^2}{2g}+\ldots $$

Или, если везде перейти к скорости $\upsilon_1$, то

$$S=h+\frac{1}{g}\cdot \left(\left(\frac{\upsilon_1}{2}\right)^2+\left(\frac{\upsilon_1}{4}\right)^2+\ldots \right)$$

Или, вынося за скобку $\upsilon_1^2$, получим:

$$S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\ldots \right)$$

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вспомним формулу суммы такой прогрессии:

$$S_q=\frac{b_1}{1-q}$$

Теперь путь, пройденный мячом, запишем так:

$$S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot S_q=h+2h\cdot \frac{b_1}{1-q}$$

Подставляем данные:

$$S= 15+30\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=15+10=25$$

Ответ: $S=25$ м.

Задача 2.

Камень сбрасывают с высоты $H$. В то же время с земли бросают вертикально вверх шарик с начальной скоростью $\upsilon_0$. Определить время $t$ через которое встретятся камень и шарик. При какой скорости  $\upsilon_0$ возможна их встреча? В каком направлении (вверх или вниз) движется шарик в момент встречи?

Давайте разбираться. Шарик подбросили вверх. Если его начальная  скорость была изначально небольшой, то он быстро упадет обратно на землю, когда камень еще не успеет до нее долететь, и в этом случае встреча камня и шарика невозможна. Определим время полета шарика до наивысшей точки траектории $t_{sh}$:

$$\upsilon_0-gt_{sh}=0$$

$$t_{sh}=\frac{\upsilon_0}{g}$$

Еще точно такое же время шарик будет падать обратно, поэтому общее время его движения - $2t_{sh}=\frac{2\upsilon_0}{g}$. Тогда встреча возможна, если $t_k \leqslant 2t_{sh}$ (если шарик уже приземлился, а камень еще летит - они не встретятся). Определим время падения камня $t_k$:

$$H=\frac{gt_k^2}{2}$$

$$t_k=\sqrt{\frac{2H}{g}}$$

Тогда условие встречи можно записать так:

$$\sqrt{\frac{2H}{g}} \leqslant \frac{2\upsilon_0}{g}$$

$$\frac{2H}{g} \leqslant \frac{4\upsilon_0^2}{g^2}$$

$$4\upsilon_0^2 \geqslant 2gH$$

$$\upsilon_0^2 \geqslant  \frac{gH}{2}$$

Предположим, шарик и камень встретились в тот момент, когда шарик достиг максимальной высоты. Так как камень и шарик покрыли все расстояние $H$, то можно  записать:

$$\frac{gt^2}{2}+\upsilon_0 t-\frac{gt^2}{2}=H$$

$$\upsilon_0 t=H$$

$$t=\frac{H}{\upsilon_0}$$

Время движения в этом случае равно $t=t_{sh}=\frac{\upsilon_0}{g}$, подставим:

$$\frac{\upsilon_0}{g}=\frac{H}{\upsilon_0}$$

$$\upsilon_0^2=gH$$

А если шарик находится еще на взлете в момент встречи, то $t<t_{sh}=\frac{\upsilon_0}{g}$  ($\upsilon_{sh}>0$):

$$\frac{H}{\upsilon_0}<\frac{\upsilon_0}{g}$$

$$\upsilon_0^2>gH$$

Если в момент встречи шарик падает, то $t_{sh}<t<2t_{sh}$, ($\upsilon_{sh}<0$):

$$\frac{\upsilon_0}{g}<t<\frac{2\upsilon_0}{g}$$

$$\frac{\upsilon_0}{g}<\frac{H}{\upsilon_0}<\frac{2\upsilon_0}{g}$$

$$\frac{gH}{2}<\upsilon_0^2<gH$$

Если $t=2t_{sh}$, то встреча произойдет на земле: камень и шарик одновременно плюхнутся в одну точку. Тогда

$$\frac{ H}{\upsilon_0}=\frac{2\upsilon_0}{g}$$

$$\upsilon_0^2 =  \frac{gH}{2}$$