Свободное падение

В статье собраны задачи, связанные с падением тел. При падении ускорение постоянно и равно 9,8 м/c$^2$. Свободно падающее тело - тело, падающее без начальной скорости, как оторвавшаяся сосулька.

Задача 1.

Свободно падающее тело в некоторый момент времени находилось на высоте $h_1=1100$ м, а спустя время $t=10$ с – на высоте $h_2=120$ м над поверхностью земли. С какой высоты падало тело?

Итак, за 10 с тело прошло путь, равный $1100-120=980$ м с известным ускорением, равным $9,8$ м/c$^2$. Тогда можно записать:

$$S=h_1-h_2=\upsilon t+\frac{gt^2}{2}=980$$

Здесь $\upsilon$ - скорость, которую тело приобрело к моменту, когда оно оказалось на высоте 1100 м. Эта скорость нам неизвестна, и ее можно определить из последнего уравнения. Так как тело падало свободно, следовательно, у него не было начальной скорости в самом начале падения. Тогда, узнав, какая скорость была им приобретена, мы легко установим, сколько оно пролетело до этого момента (до высоты 1100 м).

$$\upsilon t=S-\frac{gt^2}{2}$$

$$10\upsilon =980-\frac{9,8\cdot100}{2}=490$$

$$\upsilon =49$$

Изначально тело двигалось без начальной скорости:

$$\upsilon=gt_1$$

$$t_1=\frac{\upsilon }{g}=\frac{49}{9,8}=5$$

Таким образом, тело всего падало $t+t_1=15$ c. Следовательно, за указанное время прошло путь

$$S_1=\frac{g(t+t_1)^2}{2}=\frac{9,8 \cdot 25}{2}=1102,5$$
При этом тело не долетело до земли 120 м, а значит, падало оно с высоты $1102,5+120=1222,5$ м.

Ответ: 1222,5 м

 

Задача 2.

Тело свободно падает с высоты $h=100$ м. За какое время тело проходит первый и последний метр своего пути? Какой путь проходит тело за первую секунду своего движения? За последнюю секунду?

$$S_1=\frac{gt_1^2}{2}$$

Тогда время прохождения первого метра:

$$t_1=\sqrt{\frac{2S_1}{g}}=\sqrt{\frac{2}{9,8}}=0,45$$

Время прохождения первого метра – 0,45 с.

Чтобы найти время движения на последнем метре, придется найти общее время падения, а также время прохождения телом 99 метров пути, после чего вычесть из первого второе:

$$S_2=\frac{gt_2^2}{2}=100$$

$$t_2=\sqrt{\frac{2S_2}{g}}=\sqrt{\frac{200}{9,8}}=4,5$$

$$S_3=\frac{gt_3^2}{2}=99$$

$$t_3=\sqrt{\frac{2S_3}{g}}=\sqrt{\frac{198}{9,8}}=4,49$$

$$t_2-t_3=0,01$$

Время прохождения последнего метра – 0,01 с.

Путь, который тело проходит за первую секунду:

$$S_4=\frac{gt_4^2}{2}=4,9$$

А за последнюю секунду… Найдем, сколько тело пролетело за время $t_5=t_2-1=3,5$ c:

$$S_5=\frac{gt_5^2}{2}=60$$

Тогда оставшиеся 40 метров тело прошло за последнюю секунду.

Ответ: первый метр – за 0,45 с, последний – за 0,01 с, 4,9 м – за первую секунду полета, 40 м – за последнюю.

 

Задача 3.

С крыши дома сорвалась сосулька и за $t=0,2$ с пролетела мимо окна, высота которого $h=1,5$ м. С какой высоты относительно верхнего края окна  она оторвалась?

Эту задачу можно решить по-разному.

Первый способ.

Запишем путь, пройденный сосулькой до нижнего края окна:

$$S_1=\frac{gt_1^2}{2}$$

Здесь $t_1$ - общее время полета сосульки с крыши до нижнего края окна.

Так как окно сосулька пролетела за 0,2 с, то до его верхнего края она летела $t_1-t$ c. Тогда искомая высота от верхнего края окна до крыши равно:

$$S=S_1-h=\frac{g(t_1-t)^2}{2}$$

Разность этих двух расстояний – как раз высота окна:

$$S_1-S=h=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g(t_1-t)^2}{2}$$

Раскроем скобки и решим:

$$h=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{gt_1^2}{2}+\frac{2g t t_1}{2}-\frac{gt^2}{2}$$

$$h=gt t_1-\frac{t^2}{2}$$

$$1,5=9,8 \cdot0,2 t_1-0, 196$$

$$t_1=0,86$$

Решив уравнение, мы нашли общее время полета сосульки, которое дает нам возможность определить высоту, с которой она упала:

$$ S_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{9,8 \cdot0,86^2}{2}=3,67$$

Вычтем высоту окна – и ответ готов: $S=S_1-h=3,67-1,5=2,17$ м.

Второй способ:

Найдем скорость, с которой сосулька подлетела к верхнему краю окна:

$$\upsilon_0=gt_2$$

Здесь $t_2$ - время полета сосульки до окна.

Эта скорость будет служить нам начальной скоростью, когда мы будем рассматривать собственно пролет сосулькой окна. Тогда $h$ можно записать так:

$$h=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}$$

$$h=g t_2 t+\frac{gt^2}{2}$$

$$1,5=9,8\cdot 0,2 t_2+\frac{9,8\cdot 0,2^2}{2}=0,196t_2+0,196$$

$$t_2=0,665$$

Тогда искомое расстояние равно:
$$S_1=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{9,8\cdot 0,665^2}{2}=2,17$$

Ответ: от верхнего края окна до крыши 2,17 м.

Задача 4.

Мячик, отскочивший от поверхности земли вертикально вверх со скоростью $\upsilon_0=10$ м/c, пролетел мимо окна, высота которого $h=1,5$ м, за время $t=0,2$ с. На какой высоте относительно поверхности земли находится подоконник?

Решим эту задачу вторым способом (смотри предыдущую задачу). Пусть время полета от пола до подоконника - $t_1$. Тогда мячик подлетел к окну со скоростью $\upsilon_1=\upsilon_0-gt_1$.

Высота окна $h$ может быть записана так:

$$h=\upsilon_1 t-\frac{gt^2}{2}$$

$$\upsilon_1=\frac{h}{t}+\frac{gt}{2}$$

Подставим $\upsilon_1$:

$$\upsilon_0-gt_1=\frac{h}{t}+\frac{gt}{2}$$

Откуда $t_1$

$$t_1=\frac{\upsilon_0}{g}-\frac{h}{gt}-\frac{t}{2}$$

$$t_1=\frac{10}{9,8}-\frac{1,5}{9,8\cdot0,2}-\frac{0,2}{2}=0,155$$

Тогда путь до подоконника равен:

$$h_1=\upsilon_0 t_1-\frac{gt_1^2}{2}=1,55-\frac{9,8\cdot0,155^2}{2}=1,43$$

Ответ: $h_1=1,43$ м

 

Задача 5.

Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время $t$, а такой же последний – за время $\frac{t}{2}$. Найти высоту, с которой падало тело.

Первый участок:

$$S_1=\frac{gt^2}{2}$$

Пусть участков - $n$ штук. Тогда высота, с которой падало тело, равна $nS_1$, а общее время полета - $t_1$.

$$nS_1=\frac{gt_1^2}{2}$$

Тело пролетело $n-1$ участков:

$$(n-1)S_1=\frac{g(t_1-\frac{t}{2})^2}{2}$$

Подставим в последнее уравнение то, что записали выше:

$$nS_1-S_1=\frac{g(t_1^2-t_1 t+\frac{t^2}{4})}{2}$$

$$\frac{gt_1^2}{2}-\frac{gt^2}{2}=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g t_1 t }{2} +\frac{gt^2}{8}$$

Сокращаем и приводим подобные слагаемые:

$$\frac{5gt^2}{8}=\frac{g t t_1}{2}$$

$$t_1=\frac{10t}{8}$$

$t_1$ - полное время падения, поэтому пройденный путь равен:

$$nS_1=\frac{100gt^2}{64\cdot 2}=\frac{100}{128}S_1=1,56S_1$$

Откуда $n=1,56$.

Ответ: $n=1,56$ или $nS_1=0,78gt^2$.

 

Задача 6.

Камень падает в ущелье. Через $t=6$ с слышен звук удара камня о землю. Определить глубину ущелья $h$. Скорость звука $\upsilon=330$ м/с.

Сначала наш камень падает, а потом звук идет со дна ущелья до наблюдателя – из этих двух времен складывается $t$. Скорость звука известна, поэтому время его распространения равно $t_{zv}=\frac{h}{\upsilon}$.

Найдем время падения камня.

$$h=\frac{gt_k^2}{2}$$

$$t_k=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

$$t_k+t_{zv}=6$$

$$\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{\upsilon}=6$$

Введем новую переменную: $a=\sqrt{h}$ и решим получившееся квадратное уравнение:

$$\sqrt{\frac{2}{g}}a+\frac{a^2}{\upsilon}=6$$

$$\sqrt{\frac{2}{9,8}}a+\frac{a^2}{330}=6$$

Домножим на 330:

$$149a+a^2=1980$$

$$a=12$$

Тогда $h=a^2=144$ м

Ответ: 144 м.