Свободное и "несвободное" падение. Подготовка к олимпиадам, 9 класс.

В статье предложены задачи на свободное падение тел. Будем использовать среднюю скорость и закон нечетных чисел.

Задача 1.

Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью $\upsilon_0$, падало до земли время $t_1=12$ с, а тело, брошенное из этой же точки вертикально вниз с такой же по величине начальной скоростью $\upsilon_0$, падало $ t_1=3$ с. Какое время из этой точки будет падать тело, брошенное без начальной скорости? $g=10 $ м/$c^{2}$. Ответ дать в секундах. Округлить до целых.

Решение.

Пусть тело бросают с высоты $H$. Пусть ось $x$ направлена вертикально вверх, а начало координат находится на земле. Тогда начальная координата тела $x_0=H$. Запишем  уравнения движения для трех случаев движения тела.

Для броска с начальной скоростью вертикально вверх можно записать

$$x_1(t)=H+\upsilon_0\cdot t-\frac{gt^2}{2},$$

для броска вертикально вниз выражение будет таким:

$$x_2(t)=H-\upsilon_0\cdot t-\frac{gt^2}{2},$$

а для броска без начальной скорости следующим:

$$x_3(t)=H-\frac{gt^2}{2}.$$

Зная из условия, что $x_1(t_1)=x_2(t_2)=0$ получим:

$$ H+\upsilon_0\cdot t_1-\frac{gt_1^2}{2}= H+\upsilon_0\cdot t_2-\frac{gt_2^2}{2},$$

откуда выразим начальную скорость

$$\upsilon_0=\frac{g\cdot (t_1-t_2)}{2}.$$

Подставляя найденную начальную скорость $\upsilon_0$ в уравнение $x_1(t_1)=0$ или $x_2(t_2)=0$ получим высоту, с которой бросают тело

$$H=\frac{gt_1t_2}{2}.$$

Теперь используем то, что

$$ x_3(t_3)=0=H-\frac{gt_3^2}{2}.$$

подставим в данное уравнение найденную ранее высоту $H$ и получим, что

$$t_3=\sqrt{t_1\cdot t_2}=6.$$

Ответ: 6 с.

 

Задача 2.

Шарик начал падать без начальной скорости с высоты $H=20$ м. С задержкой в половину времени падения первого шарика из той же точки вдогонку с начальной скоростью бросили другой шарик. Чему должна быть равна минимальная начальная скорость второго, чтобы он успел долететь до земли раньше первого? $g=10$ м/$c^{2}$ . Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Решение.

Известно, что тела бросают с высоты $H$. Направим ось $x$ вертикально вверх и поместим начало координат в точку, расположенную на земле. Тогда начальная координата обоих тел $x_0=H$. Заметим, что второе тело необходимо бросать вертикально вниз. Пусть его бросают с минимальной скоростью $\upsilon_0$. Запишем  уравнения движения для обоих тел. Для первого тела

$$x_1(t)=H-\frac{gt^2}{2}$$

и для второго тела

$$x_2(t)=H-\upsilon_0\cdot \left(t-\frac{t_1}{2}\right)-\frac{g\cdot \left(t-\frac{t_1}{2}\right)}{2}}$$

Заметим, что второе уравнение справедливо только лишь для моментов времени $t>\frac{t_1}{2}$, так как до этого второе тело не двигалось.

Первое уравнение, если его записать для момента времени $t_1$, будет выглядеть так:

$$x_1(t_1)=0=H-\frac{gt_1^2}{2}$$

откуда время падения первого тела

$$t_1=\sqrt{\frac{2H}{9}}.$$

Если второй шарик бросают с минимальной скоростью, то он должен долететь до земли хотя бы одновременно с первым. Если его будут бросать с большей скоростью, то он перегонит первый и условие задачи выполнится. Для второго шарика, учитывая это условие, получим

$$x_2(t_1)=0=H-\frac{\upsilon_0\cdot t_1}{2}-\frac{gt_1^2}{8}$$

Подставив $t_1$, получаем:

$$\upsilon_0\sqrt{\frac{h}{2g}}=\frac{3}{4}H$$

и окончательно

$$\upsilon_0=\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{H\cdot g}=15$$

Ответ: 15 м/с.

Задача 3.

Тело, свободно падающее с некоторой высоты, за время $t=2$ с после начала движения проходит путь в $n=7$ раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту $h$, с которой падало тело $g=10 $ м/$c^{2}$. Ответ выразить в метрах, округлив до целых.

Решение.

Конечная скорость при падении с высоты $h$ будет

$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$

Для первого участка

$$S=\frac{gt^2}{2},$$

для последнего участка путь можно записать как

$$nS=\upsilon t-\frac{gt^2}{2}.$$

Или

$$n\cdot \frac{gt^2}{2}=\upsilon t-\frac{gt^2}{2}$$

Получим

$$(n+1)\frac{gt^2}{2}=\upsilon t$$

Подставляем скорость и находим

$$h=(n+1)^2\frac{gt^2}{8}=320$$

Ответ: 320 м.

Задача 4.

За последнюю секунду падающее тело прошло путь в 2 раза больший, чем за предпоследнюю секунду. С какой скоростью тело ударилось о землю? $g=10 $ м/$c^{2}$. Ответ дать в м/с.

Решение.

Средние скорости на последней $u_2$ и предпоследней $u_1$ секунде отличаются в два раза и на 10 м/с. Следовательно, они равны $ u_1=10$ м/с и $ u_2=20$ м/с. Но скорость $u_2$ равна скорости тела на середине последней секунды. До конца разгона остается ещё 0,5 с. За это время тело успеет разогнаться ещё на 5 м/с. Конечная скорость 25 м/с.

Ответ: 25 м/с.

Задача 5.

От основания гладкой наклонной плоскости снизу вверх скользит льдинка. Через $t_1=1$ с и $t_2=2$ с от начала движения она дважды побывала на расстоянии $S=30$ см от основания плоскости. Определите начальную скорость льдинки. Ответ дать в см/с. Округлить до целых.

Решение.

Начало координатной оси $x$ поместим в основание наклонной плоскости и направим ось вверх вдоль нее. С учетом направлений векторов перемещения, ускорения и начальной скорости запишем уравнения для перемещения в проекциях на ось $x$ для моментов $t_1$ и $t_2$. Получим:

$$S=\upsilon_0 t_1-\frac{a\cdot t_1^2}{2}$$

и

$$S=\upsilon_0 t_2-\frac{a\cdot t_2^2}{2}.$$

Решая эту систему относительно $\upsilon_0$, найдем

$$\upsilon_0=S\cdot\frac{t_1+t_2}{ t_1\cdot t_2}=45$$

Ответ: 45 см/с

Задача 6.

Торможение приближающегося к станции поезда началось на расстоянии $L_0=200 $ м от нее. На каком расстоянии $L$ от станции окажется поезд, идущий со скоростью $\upsilon_0=30 $ м/с через $t=7~$ с после начала торможения с ускорением $a=-5 $ м/$c^2$? Ответ дать в метрах. Округлить до целых.

Решение.

Если предположить, что торможение длилось все 7 секунд, то проекция конечной скорости должна стать отрицательной

$$\upsilon_x=\upsilon_0-at=-5$$

Поскольку  вряд ли поезд, остановившись, двинулся в обратную сторону, то движение длилось до остановки поезда, а оставшуюся часть времени поезд просто стоял на месте. Тормозной путь поезда при движении с начальной скоростью $\upsilon_0$ и ускорением $a$ до полной остановки

$$S=\frac{\upsilon_0^2}{2a}=90.$$

Окончательно, расстояние до станции

$$L=L_0-S=L_0-\frac{\upsilon_0^2}{2a}=110.$$

Ответ: 110 м.

 

Задача 7.

Тело из состояния покоя начинает движение с постоянным ускорением. Определите отношение путей пройденных телом за 99-ю и 4-ю секунду движения. Ответ округлите до целых.

Решение. Воспользуемся законом "нечетных чисел". Тогда за $N$-тую секунду тело проходит путь

$$S_N=\frac{aN^2}{2}\tau^2-\frac{a(N-1)^2}{2}\tau^2=\frac{a(2N-1)\tau^2}{2}$$

где $\tau=1~$с — единичный интервал времени.

Тогда отношение путей за $N$-тую и $K$-тую секунды

$$S_N~:~S_K=(2N-1):(2K-1).$$

Откуда получаем ответ$S_{99}:S_4=197:7\approx 28.$

Ответ: 28.

Задача 8.

С большой высоты вверх бросают тело с начальной скоростью $\upsilon_0=10$ м/с. Какой путь $S$ пройдет тело за первые $t_0=4~$с движения? $g=10$ м/$c^{2}$.

Ответ дать в метрах. Округлить до целых.

Решение.

Найдем время подъема тела $t_1=\frac{\upsilon_0}{g}=1$ с.

За время подъема тело успеет пройти

$$S=\frac{\upsilon_0\cdot t_0}{2}=5$$

За оставшееся время оставшийся путь

$$S=\frac{g\cdot (t_0-t_1)}{2}=45$$

Общий путь

$$S=S_1-S_2=50.$$

Ответ: 50 м.