Средняя скорость при равноускоренном движении

Чтобы определить среднюю путевую скорость, нужно разделить весь путь на все время. Это справедливо и для равноускоренного движения. Модуль средней скорости по перемещению определяется как модуль перемещения, деленный на все время движения. Также перемещение - векторная величина, и имеет направление, следовательно, можно определить и угол, под которым средняя скорость будет направлена к горизонту.

Задача 1.  Тело падает без начальной скорости с высоты $h=45$ м. Найти среднюю скорость падения на второй половине пути.

Чтобы определить среднюю скорость, нужно разделить путь, пройденный телом, на время его движения.

Длина первой половины пути - $S_1=\frac{S}{2}$.

Тогда можно записать, что $S_1=\frac{gt_1^2}{2}$, где $t_1$ - время прохождения телом первой половины пути, его можно найти:

$$t_1=\sqrt{\frac{2S_1}{g}}=\sqrt{\frac{S}{g}}$$

Полное время падения тоже легко определить:

$$S=\frac{gt^2}{2}$$

$$t=\sqrt{\frac{2S}{g}}$$

Тогда определим время, за которое тело прошло вторую половину пути:

$$t_2=t-t_1=\sqrt{\frac{2S}{g}}-\sqrt{\frac{S}{g}}$$

Определим среднюю скорость:

$$\upsilon_{sr}=\frac{\frac{S}{2}}{\sqrt{\frac{2S}{g}}-\sqrt{\frac{S}{g}}}=\frac{S}{2\sqrt{\frac{2S}{g}}-2\sqrt{\frac{S}{g}}}=\frac{45}{2\sqrt{9}-2\sqrt{4,5}}=\frac{45}{6-4,24}=25,6$$

Ответ: средняя скорость на второй половине пути равна 25,6 м/c.

Задача 2.  Тело брошено со скоростью $\upsilon_0=14,7$ м/с вертикально вверх с высоты $h=19,6$ м над поверхностью земли. Определить среднюю скорость $\upsilon_{sr}$ и среднюю путевую скорость $\upsilon$ за время полета.

Так как найти надо среднюю путевую и среднюю скорость по перемещению, то необходимо знать как путь, так и перемещение тела. Очевидно, что точку старта и точку финиша тела разделяет высота $h$, с которой тело было сброшено, так как в конце оно окажется на земле. Итак, $h$ - это перемещение тела.

Чтобы определить путь, потребуется найти высоту, до которой тело смогло подняться. Путь тела тогда будет равен

$$S=2h_{max}+h$$

Максимальная высота подъема тела равна $h_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$, следовательно,

$$S=2 h_{max}+h=\frac{\upsilon_0^2}{g}+h=\frac{\upsilon_0^2+gh}{g}$$

Также для определения средней скорости надо знать время движения тела. Это время будет складываться из времени взлета $t_{vzl}$ и времени падения $t_{pad}$.

Время взлета найдем из условия равенства нулю скорости тела:

$$\upsilon=\upsilon_0-gt_{vzl}=0$$

$$ t_{vzl}=\frac{\upsilon_0}{g}$$

Время падения тоже легко определить, зная, что тело падало с высоты $h+h_{max}$:

$$\frac{g t_{pad}^2}{2}= h+h_{max}$$

$$t_{pad}^2= \frac{ 2(h+h_{max})}{g} =\frac{2h+\frac{\upsilon_0^2}{g}}{g}=\frac{2gh+ \upsilon_0^2}{g^2}$$

$$ t_{pad}=\sqrt{\frac{2gh+ \upsilon_0^2}{g^2}}=\frac{\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}{g}$$

Теперь, зная время взлета и время падения, можем определить общее время движения тела:

$$t= t_{vzl}+ t_{pad}=\frac{\upsilon_0+\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}{g}$$

Осталось разделить путь на это время – и получим среднюю путевую скорость:

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{\frac{\upsilon_0^2+gh}{g}}{\frac{\upsilon_0+\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}{g}}=\frac{\upsilon_0^2+gh }{\upsilon_0+\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}=\frac{14,7^2+196 }{14,7+\sqrt{20\cdot19,6+ 14,7^2}}=10,47$$

Средняя скорость по перемещению равна (или модуль средней скорости):

$$\upsilon_{sr}=\frac{h}{t}=\frac{gh}{\upsilon_0+\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}=\frac{196}{14,7+\sqrt{20\cdot19,6+ 14,7^2}}=\frac{19,6}{39,35}=4,98$$

Задача 3. Мячик брошен с высоты $h=5$ м над поверхностью земли с начальной скоростью $\upsilon_0=20$ м/с под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. Найти модуль и направление его средней скорости за все время полета.

В этой задаче необходимо, по сути, определить вектор средней скорости тела по перемещению: его длину (модуль) и направление. Очевидно, для этого потребуется знать, как далеко тело улетело и сколько на это понадобилось времени.  Мы помним, что проекция скорости тела на горизонтальную ось остается неизменной во времени и равной $\upsilon_x=\upsilon_0 \cos{\alpha}$. Если удастся найти время полета тела – то мы узнаем, как далеко оно шлепнулось о землю.

Давайте запишем закон движения тела по оси $y$:

$$y=y_0+\upsilon_0 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$$

Так как в итоге ордината тела оказалась равной 0, то приравняем $y=0$ и решим полученное квадратное уравнение:

$$ y_0+\upsilon_0 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}=0$$

$$D=\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}+2g y_0$$

$$t_{1,2}=\frac{-\upsilon_0 \sin{\alpha} \pm \sqrt{D}}{-g}$$

Один из корней  - отрицательный – отбросим, как неудовлетворяющий смыслу задачи.

Тело улетит от точки старта по горизонтали на расстояние:

$$S_x=\upsilon_x t=\upsilon_0 \cos{\alpha}\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha} + \sqrt{D}}{g}=\frac{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin{2\alpha}+\upsilon_0 \cos{\alpha}\sqrt{D} }{g}$$

Теперь определим перемещение тела по теореме Пифагора:

$$L=\sqrt{S_x^2+y_0^2}$$

Разделив перемещение тела на время, получим среднюю скорость по перемещению:

$$\upsilon_{sr}=\frac{L}{t}=\frac{g\sqrt{S_x^2+y_0^2}}{\upsilon_0 \sin{\alpha} + \sqrt{D}}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{\sqrt{(\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin{2\alpha}+\upsilon_0 \cos{\alpha}\sqrt{D})^2+y_0^2g^2}}{\upsilon_0 \sin{\alpha} + \sqrt{D}}$$

Определим $D$ численно, чтобы потом проще было при подсчетах:

$$D=400 \frac{1}{2}+20\cdot 5=300$$

Теперь рассчитаем среднюю скрость:

$$\upsilon_{sr}=\frac{\sqrt{(200\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+20 \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{300})^2+5^2\cdot10^2}}{10 + \sqrt{300}}=10\sqrt{3}=17,3$$

Найдем, под каким углом к горизонту был направлен вектор средней скорости:

$$\beta=\operatorname{arctg} \frac{y_0}{S_x}=\operatorname{arctg} \frac{y_0}{\frac{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin{2\alpha}+\upsilon_0 \cos{\alpha}\sqrt{D} }{g}}=\operatorname{arctg} {\frac{ gy_0}{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin{2\alpha}+\upsilon_0 \cos{\alpha}\sqrt{D}}}$$

$$\beta=\operatorname{arctg} \frac{5}{41,8}=6,8^{\circ}$$

Ответ: модуль средней скорости равен 17,3 м/с, она направлена под углом $\beta=6,8^{\circ}$ к горизонту.