Скорости и ускорения как производные координаты

Зная координату тела (закон, по которому она изменяется) можно очень многое о движении  этого тела узнать. Например, скорость - первая производная  от координаты. А ускорение - вторая производная, или первая производная скорости.  Если в задаче дано еще и время движения тела - то можно полностью описать движение и найти все его характеристики для данного момента времени.

Ускорение

Задача 1.

Точка движется по прямой согласно закону $x=At+Bt^3$, где $A=6$ м/с, $B=-0,125$ м/c$^3$. Определить: среднюю скорость точки в интервале времени от $t_1=2$ с до $t_2=6$ с, координату точки в тот момент времени, когда скорость тела будет равна нулю.

Средняя скорость – это отношение пройденного пути ко времени. Время движения очевидно: $t_2-t_1=4$ с. А путь можно определить как $x_2-x_1$:

$$x_2= At_2+Bt_2^3$$

$$x_1= At_1+Bt_1^3$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{6 \cdot 4-0,125(6^3-2^2)}{4}=-0,5$$

Чтобы определить скорость, возьмем производную координаты по времени:

$$\upsilon=(At+Bt^3)’=A+3Bt^2$$

Если скорость равна 0, то

$$A+3Bt^2=0$$

$$6-0,375t^2=0$$

Откуда $t=\sqrt{16}=4$ с и $x=6\cdot 4-0,125\cdot64=16$ м.

Ответ: $\upsilon_{sr}=-0,5$ м/с, $x=16$ м.

Задача 2.

Точка движется вдоль оси $X$ по закону $x=2t^2-4t^3$. Найти направление движения в моменты времени: а) $t_1=0,25$ с; б) $t_2=0,5$ с. Чему будут равны ускорения в эти моменты времени?

Чтобы определить направление движения, нам надо узнать знак скорости в данные моменты времени. Определим сначала скорость тела как производную координаты:

$$\upsilon=x’=(2t^2-4t^3)’=4t-12t^2$$

Тогда

$$\upsilon_1=4t_1-12t_1^2=1-\frac{12}{16}=0,25$$

$$\upsilon_2=4t_2-12t_2^2=2-\frac{12}{4}=-1$$

Поэтому в момент времени $t_1$ тело движется в положительном направлении, а в момент времени $t_2$ - в отрицательном.

Определим ускорение как вторую производную от координаты, или первую производную скорости по времени:

$$a=x”=(\upsilon)’=4-24t$$

$$a_1=4-24\cdot0,25=-2$$

$$a_2=4-24\cdot0,5=-8$$

Ответ: $\upsilon_1=0,25$ м/с, движение по оси, $a_1=-2$ м/с$^2$, $\upsilon_2=-1$ м/с, движение против оси, $a_2=-8$ м/с$^2$.

Задача 3.

Тело движется прямолинейно, причем скорость зависит от времени по закону: $\upsilon=3t^3-5t+2$. Определить зависимость ускорения от времени $a(t)$. Каково значение ускорения при $t=5$ с?

Чтобы найти ускорение, возьмем производную скорости:

$$a=\upsilon’=9t^2-5$$

При $t=5$ имеем:

$$a=9\cdot 25-5=220$$

Ответ: $a=9t^2-5$, $a=220$ м/с$^2$.