Шарик и желоб

Задача о минимальном времени скатывания.

Задача. Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки $A$ гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?

Желоб

Пусть длина желоба $l$. Тогда длина перпендикуляра к плоскости $d$ будет равна

$$d=l\sin(\alpha+\varphi)$$

Отметим углы

Проекция ускорения свободного падения на плоскость равна $a=g\sin{\alpha}$, тогда

$$l=\frac{at^2}{2}$$

$$t^2=\frac{2l}{a}=\frac{2d}{\sin(\alpha+\varphi)\cdot g\sin{\alpha}}$$

$$t^2=\frac{2d}{g\frac{1}{2}\left(\cos\varphi-\cos(2\alpha+\varphi)\right)}$$

Если минимален квадрат времени, то и само время тоже будет минимальным. Квадрат времени минимален, если $\cos(2\alpha+\varphi)=-1$. Но нам-то нужен угол наклона желоба к вертикали, а это угол $90^{\circ}-\alpha$. То есть

$$\cos(2\alpha+\varphi)=-1$$

$$2\alpha+\varphi=180^{\circ}$$

$$\varphi=180^{\circ}-2\alpha=2(90^{\circ}-\alpha)$$

Иначе говоря, угол наклона желоба к вертикали должен составлять $\frac{\varphi}{2}$.

Ответ: угол наклона желоба к вертикали $\frac{\varphi}{2}$ обеспечивает минимальное время скатывания.