Равноускоренное движение. 10 класс. Олимпиадная подготовка

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Каждому возрасту - свои задачи. Здесь - более сложные, чем для ребят 9 класса.

Задача 1.

Точка движется прямолинейно с ускорением $a=2$ м/с$^{2}.$ Определить разность перемещений, проходимых точкой в два последовательных одинаковых промежутка времени $\tau=5$ с. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

При равноускоренном движении скорость точки меняется по закону $\upsilon=\upsilon_0+a\cdot t,$ где $\upsilon_0$ — начальная скорость. Задачу удобно решать, используя график зависимости скорости от времени.

К задаче 1

Площадь под графиком скорости - это величина  перемещения точки.

Видно, что за два последовательных интервала времени $\tau$ перемещения отличаются на площадь прямоугольника $\Delta S.$ Стороны этого прямоугольника равны $\tau$ и $\Delta\upsilon=a\cdot \tau.$ Таким образом, искомая разность перемещений равна

$$\Delta S=a\cdot \tau^2=50.$$

Ответ: 50 м.

Задача 2.

Камень отпускают без начальной скорости, после чего он начинает падать вниз. Через промежуток времени $\tau=2$ с после этого отпускают второй камень. Через какое время после начала движения второго камня расстояние между ними будет равно $L=40$ м, если известно, что к этому моменту ни один из них не достигнет поверхности земли? Ответ выразить в с, округлив до целых. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^{2}.$

Решение.

Путь $t$ — время полёта второго камня. Тогда первый находился в воздухе в течение времени $t+\tau.$

Направим ось $y$ вертикально вниз, приняв за начало отсчёта точку старта камней. Тогда координата первого камня меняется по закону

$$y_1=\frac{g\cdot(t+\tau)^2}{2}$$

а второго — по закону

$$y_2=\frac{g\cdot t^2}{2}.$$

Расстояние между камнями равно

$$L=y_1-y_2=\frac{g\cdot(t+\tau)^2}{2}-\frac{g\cdot t^2}{2}=\frac{g}{2}\cdot(2t+\tau)\cdot\tau=g\cdot\tau\cdot\left(t+\frac{\tau}{2}\right).$$

Следовательно, искомое время равно

$$t=\frac{L}{g\cdot\tau}-\frac{\tau}{2}=1.$$

Ответ: 1 с.

Задача 3.

Тело из состояния покоя начинает движение с постоянным ускорением. Определите отношение путей пройденных телом за 39-ю и 4-ю секунду движения. Ответ округлите до целых.

Решение.

Для ускоряющегося из состояния покоя тела перемещения за последовательные одинаковые интервалы времени относятся как ряд последовательных нечетных чисел 1 : 3 : 5 : 7 и т. д. Пусть за 1-ю секунду тело прошло расстояние $S.$ Тогда за 39-ю $S_{39}=(39\cdot 2-1)S,$ а за 4-ю $S_4=(4\cdot 2-1)S.$ Отношение этих расстояний $\frac{77}{7}=11.$

Ответ: 11.

Задача 4.

Летающая тарелка стартует с поверхности земли вертикально вверх с постоянным ускорением $a=2$ м/с$^{2}.$ В процессе подъема тарелка излучает частые короткие звуковые сигналы и регистрирует их отражение от поверхности земли. Через какое время после старта будет послан последний звуковой сигнал, отражение которого ещё можно зарегистрировать? Скорость звука $c=330 $ м/с. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Решение.

В момент испускания последнего сигнала расстояние до земли было $L=\frac{a\cdot\tau^2}{2},$ а скорость тарелки $\upsilon=a\cdot\tau,$ где $\tau$ — искомое время. Введём ось $y$ с началом в точке испускания сигнала и направленную вверх вдоль скорости тарелки. Тогда закон изменения координаты тарелки примет вид $y=a\cdot\tau t+\frac{a\cdot t^2}{2}$ (время $t$ отсчитывается здесь от момента испускания последнего сигнала).

Звук со скоростью $c$ должен за $t$ успеть пройти расстояние туда и обратно, а также расстояние $y$ до тарелки. Следовательно $S=2L+y=a\cdot\tau+y.$ С другой стороны, $S=c\cdot t,$ поэтому

$$ c\cdot t=a\cdot\tau^2+y=a\cdot\tau^2+a\cdot\tau\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}.$$

Получается квадратное уравнение

$$\frac{a\cdot t^2}{2}+(a\cdot\tau-c)\cdot t+a\cdot\tau^2=0$$

Для того, чтобы описанная в задаче ситуация случилась, необходимо, чтобы такой момент времени $t$ существовал. Значит, дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. Следовательно

$$(a\cdot\tau-c)^2-2a^2\cdot\tau^2\geqslant 0,$$

или

$$a^2\cdot\tau^2-2a\cdot c\cdot\tau+c^2-2a^2\cdot\tau^2\geqslant 0.$$

Приведя подобные слагаемые и разделив неравенство на ($-a^2$), получаем, что

$$\tau^2+\frac{c}{a}\cdot\tau-\left(\frac{c}{a}\right)^2\leqslant 0.$$

Решением этого неравенства является отрезок: $\tau\in\left[(-\sqrt{2}-1)\cdot\frac{c}{a};(\sqrt{2}-1)\cdot\frac{c}{a}\right].$ Значит, искомый (последний) момент времени равен

$$\tau=(\sqrt{2}-1)\cdot\frac{c}{a}=68,34\approx 68.$$

Ответ: 68 с.

Задача 5.

Тело, свободно падающее с некоторой высоты, за время $t=2$ с после начала движения проходит путь в $n=5$ раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту $h,$ с которой падало тело. Ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^{2}.$ Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

В течение первого промежутка времени $t$ шарик проходит расстояние

$$S=\frac{g\cdot t^2}{2}.$$

Из формулы $\upsilon^2-0^2=2gh$ следует, что скорость шарика в конце падения равна

$$\upsilon=\sqrt{2gh}.$$

В течение последнего промежутка времени $t$ шарик проходит путь

$$n\cdot S=\frac{\upsilon_1+\upsilon}{2}\cdot t,$$

где $\upsilon_1=\upsilon-gt$ - скорость в начале этого промежутка. Следовательно

$$n\cdot S=\upsilon\cdot t-\frac{g\cdot t^2}{2}=\upsilon\cdot t-S.$$

Получается, что

$$(n+1)S=\upsilon\cdot t.$$

Возведя равенство в квадрат и подставляя выражения для $S$ и $\upsilon$ получим

$$(n+1)^2\cdot\frac{g^2\cdot t^4}{4}=2g\cdot h\cdot t^2,$$

откуда искомая высота равна

$$h=(n+1)^2\cdot\frac{g\cdot t^2}{2}=180.$$

Ответ: 180 м.