Равнопеременное движение - 2

В этой статье решены три задачи на движение тела с постоянным ускорением. Задачи несложные, но в последней нужно проявить смекалку. Впрочем, вторая задача тоже требует догадливости.

Задача 1.

Пуля, летящая со скоростью $\upsilon_0=400$ м/c, ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину $S=36$ см. Определить а) ускорение $a$; б) какое время $t$ она движется внутри вала; в) скорость $\upsilon_1$ на глубине $S_1=18$ см; г) на какой глубине $S_2$ скорость пули уменьшится в три раза; д) скорость пули $\upsilon_3$ к моменту, когда она пройдет $\eta=99$ % своего пути. Движение считать равнозамедленным.

а) Определим ускорение пули:

$$2aS=\upsilon^2-\upsilon_0^2$$

Пуля снизила свою скорость до нуля, затормозив в земляном валу, поэтому $\upsilon=0$ и

$$2aS=-\upsilon_0^2$$

$$a=\frac{-\upsilon_0^2}{2S}=-\frac{400^2}{2 \cdot 0,36}=-2,2\cdot 10^5$$

б) Определим время движения пули, зная глубину, на которую она проникла, и пользуясь уравнениями, описывающими равнопеременное движение:

$$\upsilon=\upsilon_0 – at$$

$$0=\upsilon_0 – at$$

$$t=\frac{\upsilon_0}{a}=\frac{400}{2,2\cdot 10^5}=18\cdot 10^{-4}$$

в) Скорость на глубине 18 см определим из формулы:

$$2aS_1=\upsilon_0^2-\upsilon_1^2$$

Откуда

$$\upsilon_1=\sqrt{-2aS_1+\upsilon_0^2}=\sqrt{-2\cdot2,2\cdot 10^5\cdot 0,18+400^2}=283$$

г) Скорость пули уменьшилась втрое и стала равна $\upsilon_2=\frac{400}{3}$, определим глубину проникновения пули на этот момент:

$$2aS_2=\upsilon_0^2-\upsilon_2^2$$

$$S_2=\frac{\upsilon_0^2-\upsilon_2^2}{2a}=\frac{400^2-\left(\frac{400}{3}\right)^2}{4,4\cdot 10^5}=0,32$$

д) Наконец, последний пункт: нужно выяснить скорость пули, когда она уже прошла 99% пути ($S_3=0,99S$).

$$2aS_3=\upsilon_0^2-\upsilon_3^2$$

$$\upsilon_3=\sqrt{-2aS_3+\upsilon_0^2}=\sqrt{-2\cdot2,2\cdot 10^5\cdot 0,99 \cdot 0,36+400^2}=56,4$$

Ответ: а) $a=2,2\cdot 10^5$ м/с$^2$; б) $t=1,8\cdot 10^{-3}$ c; в) $\upsilon_1=283$ м/с; г) $S_2=0,32$ м; д) $\upsilon_3=56,4$ м/с.

Задача 2.

Пассажир, стоявший у начала третьего вагона электрички, определил, что начавший двигаться вагон прошел мимо него за $t_1=5$ с, а вся электричка – за $t_2=15,8$ с. Сколько вагонов у электрички? За какое время прошел мимо пассажира последний вагон? Движение электрички считать равноускоренным.

Задача 2

Пусть вагон имеет длину $l$, тогда вся электричка c начала третьего по конец последнего вагона – длину $nl$, если состоит из $n$ вагонов. Начальная скорость поезда равна нулю. Так как третий вагон прошел мимо наблюдателя за 5 с, то ускорение электрички можно определить из известного (или принятого нами) пути. Используем длину вагона.

$$l=\frac{at_1^2}{2}$$

$$a=\frac{2l}{t_1^2}=\frac{2l}{25}$$

Тогда определим теперь количество вагонов, миновавших наблюдателя:

$$n=\frac{S}{l}=\frac{at_2^2}{2l}=\frac{2l}{25l}\frac{15,8^2}{2}=10$$

Раз мимо наблюдателя прошли десять вагонов, а первым прошедшим был третий, следовательно, всего в составе 12 вагонов. Определим, за какое время прошел мимо наблюдателя последний вагон. Для этого определим, за какое время прошли 9 предыдущих, и затем вычтем полученное время из 15,8 с:

$$S=9l=\frac{at_3^2}{2}=\frac{2l}{25}\frac{t_3^2}{2}$$

$$9=\frac{2}{25}\frac{t_3^2}{2}$$

$$t_3=\sqrt{9\cdot25}=\sqrt{225}=15$$

Тогда последний вагон миновал наблюдателя за $15,8-15=0,8$ с.

Задача 3.

По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. На расстоянии $l=30$ см от начала движения шарик побывал дважды: через $t_1=1$ с, и через $t_2=2$ с после начала движения. Определить начальную скорость и ускорение движения шарика.

Первый вывод, который можно сделать из условия – вовсе не всем очевидный! – вывод о том, что шарик двигался одинаковое время и вверх, и вниз. А значит, где-то между моментами времени 1 с и 2 с он побывал в наивысшей точке своего движения. Очевидно, что он затратил одно и то же время на движение от отметки 30 см до этой наивысшей точки и обратно, а значит, это время – полсекунды. То есть вверх шарик двигался всего 1,5 с. Аналогично и вниз шарик тоже двигался 1,5 с. Тогда можно записать для движения вверх (в наивысшей точке скорость равна нулю):

$$\upsilon=\upsilon_0-at=0$$

$$a=\frac{\upsilon_0}{t}$$

Здесь $t=\frac{t_1+t_2}{2}=1,5$ с.

Для момента, когда шарик оказался на отметке 30 см, запишем:

$$S=\upsilon_0 t_1-\frac{at_1^2}{2}$$

$$S=0,3=\upsilon_0 t_1-\frac{\upsilon_0 t_1^2}{2t}=\upsilon_0 t_1(1-\frac{t_1}{t_1+t_2})=\upsilon_0(\frac{t_1 t_2}{t_1+t_2})$$

$$\upsilon_0=\frac{(t_1+t_2)S}{t_1 t_2}=\frac{0,9}{2}=0,45$$

Определяем ускорение. Сделаем это с учетом того, что скорость движения шарика нулевая в наивысшей точке, а там шарик окажется через 1,5 с:

$$a=\frac{\upsilon_0}{t}=\frac{0,45}{1,5}=0,3$$

Ответ: ускорение шарика 0,3 м/с$^2$, а начальная скорость – 0,45 м/с.