Подготовка к олимпиадам. 9 класс. Равноускоренное движение

Продолжаю серию статей, содержащих задачи  для подготовки  к олимпиадам. В этой статье преимущественно задачи на равноускоренное движение.

Задача 1.

Мальчик четверть времени всего движения ехал на велосипеде со скоростью $\upsilon=17$ км/ч, а оставшийся участок шёл пешком со скоростью $u=5~$ км/ч. Какова его средняя скорость на всём пути? Ответ выразить в$~$ км/ч, округлив до целых.

Решение.

Пусть $t$— время, в течение которого мальчик двигался на велосипеде. Тогда $4t$— общее время движения мальчика, а $3t$— время, в течение которого он шёл пешком. Путь, пройденный мальчиком, равен

$$S=\upsilon  t+u\cdot 3t.$$

Средняя скорость по определению есть весь путь, делённый на всё время движения. Тогда

$$\upsilon _{sr}=\frac{S}{4t}=\frac{\upsilon }{4}+\frac{3u}{4}=8$$

Ответ: 8 км/ч.

Задача 2.

Электричка тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Тормозной путь составил $S=50$ м, а скорость на середине тормозного пути была $\upsilon =10$ м/с. Сколько времени продолжалось торможение? Ответ выразить в  с, округлив до целых.

Решение.

Пусть $\upsilon _0$ — начальная скорость электрички, $a$ — её ускорение. Тогда по формуле "без времени"

$$ \upsilon _0^2=2a\cdot S.$$

Для скорости в середине тормозного пути по той же формуле

$$\upsilon ^2=2a\cdot \frac{S}{2}=\frac{\upsilon _0^2}{2}$$

Таким образом, начальная скорость электрички равна

$$ \upsilon _0=\sqrt {2}\upsilon.$$

Тормозной путь, пройденный электричкой, выражается через среднюю скорость

$$S=\frac{\upsilon _0}{2}\cdot t,$$

откуда время торможения равно

$$t=\frac{2S}{ \upsilon _0}=\sqrt {2}\frac{S}{ \upsilon }\approx1,41\frac{S}{ \upsilon }\approx 7$$

Ответ: 7 с.

Задача 3.

Электричка отправилась точно по расписанию. Мимо выбежавшего на перрон пассажира как раз проезжает начало предпоследнего вагона. Он проезжает мимо остолбеневшего пассажира за $t_1=8$  с, а последний вагон$~$— за $t_2=6~$ с. На сколько опоздал пассажир? Ответ выразить в  с, округлив до целых. Считать, что электричка двигалась с постоянным ускорением, а двери электрички закрываются непосредственно перед отправлением за очень малый промежуток времени.

Решение.

Пусть $L~$— длина одного вагона электрички, $\upsilon _0~$— скорость электрички в момент появления пассажира на перроне, $a~$— её ускорение. Тогда для предпоследнего и последнего вагонов можно записать

$$L=\upsilon _0\cdot t_1+\frac{a\cdot t_1^2}{2}=(\upsilon _0+ a\cdot t_1) \cdot t_2+\frac{a\cdot t_2^2}{2},$$

откуда

$$\upsilon _0\cdot(t_1-t_2)=\frac{a}{2}\cdot(t_2^2+2t_1\cdot t_2-t_1^2).$$

Скорость электрички в момент прибытия пассажира равна $\upsilon _0=a\cdot t$. Получаем отсюда, что искомое время опоздания равно

$$t=\frac{\upsilon _0}{a}=\frac{t_2^2+2t_1\cdot t_2-t_1^2}{2(t_1-t_2)}=17$$

Ответ: 17 с.

Задача 4.

Поезд отошёл от станции и в течение $t=20$ с двигался равноускоренно. Найдите путь $S$, пройденный поездом за $t=20$ с, если известно, что за десятую секунду $(n=10)$ он прошёл путь $S_n=4,75$ м. Ответ выразите в  м, округлив до целых. С каким ускорением при этом двигался поезд? Ответ выразите в м/$c^2$, округлив до десятых.

Решение.

Обозначим $\tau=1$с. Скорость перед началом десятой секунды равна

$$\upsilon _{0}=a\cdot(n-1)\cdot\tau.$$

Путь за $n$-ю секунду можно записать как

$$S_{n}=\upsilon _0\cdot \tau+\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}=a\cdot(n-1)\cdot\tau^{2}+\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}=\frac{a\cdot \tau^{2}}{2}\cdot (2n-1),$$

откуда ускорение поезда равно

$$a=\frac{2S_n}{\tau^{2}\cdot (2n-1)}=0,5.$$

Путь, пройденный поездом, равен

$$S=\frac{a\cdot t^{2}}{2}=\frac{S_n}{(2n-1)}\cdot \frac{t^2}{\tau^{2}}=100.$$

Ответ:  $S=100$ м,  $a= 0,5$ м/$c^2$.

Задача  5. Трамвай тормозит, двигаясь с постоянным ускорением. На каком расстоянии от места включения тормоза скорость трамвая станет равной $\upsilon=24$ км/ч, если в момент начала торможения его скорость была равна $\upsilon_0=36$ км/ч, а тормозной путь трамвая составил $S=45$ м? Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

Пусть $x$— искомое расстояние. Тогда по формуле "без времени"

$$x=\frac{\upsilon_0^2-\upsilon^2}{2a},~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

где $a$— ускорение трамвая.

Общий тормозной путь найдем по формуле

$$S=\frac{\upsilon_0^2}{2a}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Разделив соотношение (1) на (2), получаем, что

$$\frac{x}{S}=\frac{\upsilon_0^2-\upsilon^2}{\upsilon_0^2}=1-\frac{\upsilon^2}{\upsilon_0^2},$$

откуда искомое расстояние равно

$$x=\left(1-\frac{\upsilon^2}{\upsilon_0^2} \right) \cdot S=25.$$

Ответ: 25 м.