Падение тел: задачки для повышения уровня знаний

Задача 1.

Скорость тела, брошенного с некоторой высоты вертикально вниз, за первую секунду полета увеличилась в $n$ раз ($n = 2$). С какой высоты падало тело, если в момент падения за землю скорость тела составила $v = 90$ м/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Принять $g = 10$ м/с$^2$. Какова продолжительность $t_{pol}$ полета тела?

Решение. Запишем условие про удвоение скорости:

$$\upsilon=\upsilon_0+gt$$

$$2\upsilon_0=\upsilon_0+gt$$

Откуда явствует, что

$$\upsilon_0=gt=10$$

Теперь запишем скорость в конце полета:

$$\upsilon_k=\upsilon_0+gt_{pol}$$

$$90 =10+10t_{pol}$$

Или

$$t_{pol}=8$$

Теперь можно и полный путь тела найти:

$$S=\upsilon_0 t_{pol}+\frac{g t_{pol}^2}{2}=10\cdot 8+\frac{10\cdot 64}{2}=400$$

Ответ: тело падало с высоты 400 м, время падения составило 8 с.

 

Задача 2.

С вертолета, неподвижно висящего в воздухе, упал груз. Через $\Delta t =2$ с после падения этого груза начал падать второй груз. Грузы соединены нерастяжимым легким тросом, длина которого $l = 120$ м.

Через какое время от начала падения второго груза трос натянется? Принять $g = 10$ м/с$^2$. Сопротивлением воздуха пренебречь. Каковы скорости грузов в этот момент времени?

Решение. Нам, по сути, необходимо найти, когда расстояние между телами достигнет 120 м. Путь первого тела:

$$S_1=\frac{gt_1^2}{2}$$

Путь второго тела:

$$S_2=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{g(t_1-\Delta t)^2}{2}$$

Разность составила 120 м, путь $S_1>S_2$:

$$S_1-S_2=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g(t_1-\Delta t)^2}{2}=l$$

$$ gt_1^2- g(t_1-\Delta t)^2=2l$$

$$ t_1^2-(t_1-\Delta t)^2=\frac{2l}{g}$$

$$(t_1+t_1-\Delta t)(t_1-(t_1-\Delta t))= \frac{2l}{g}$$

$$(2t_1-\Delta t)\cdot \Delta t=\frac{2l}{g}$$

$$(2t_1-2)\cdot 2=\frac{2\cdot 120}{10}$$

$$t_1-1=6$$

$$t_1=7$$

$$t_2=5$$

Определим скорости грузов в момент натяжения троса:

$$\upsilon_1=gt_1=70$$

$$\upsilon_2=gt_2=50$$

Ответ: трос натянется после 5 с после падения второго тела. Скорости тел в этот момент составят 70 м/с и 50 м/с соответственно.

 

Задача 3.

Два шарика брошены с одинаковыми начальными скоростями из одной и той же точки поверхности земли вертикально вверх, один через $\Delta t=1$ с после другого. Они встретились в воздухе через $t_1=2$ с после вылета первого. Найти начальную скорость шариков.  На какой высоте шарики встретились? Принять $g = 10$ м/с$^2$. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Запишем уравнения для координат обоих тел.

$$y_1=\upsilon_0 t_1-\frac{gt_1^2}{2}$$

$$y_2=\upsilon_0 t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

$$t-2=t-1-\Delta t$$

Если тела встретились, значит, координаты равны:

$$y-1=y_2$$

$$\upsilon_0 t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

$$\upsilon_0 t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 (t_1-\Delta t)-\frac{g(t_1-\Delta t)^2}{2}$$

$$0=-\upsilon_0\Delta t-\frac{g}{2}(-2t_1\Delta t +\Delta t^2)$$

Но $t_1=2$ с, значит, $t_2=1$ c.

Тогда

$$\upsilon_0=15$$

А координата места встречи

$$y_2=\upsilon_0 t_2-\frac{gt_2^2}{2}=15\cdot 1-\frac{10}{2}=10$$

Ответ: Шарики встретились на высоте 10 м, начальная скорость $\upsilon_0=15$ м/с.

 

Задача 4.

Аэростат поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью $\upsilon_0=2$ м/с. На расстоянии $H=24$ м от земной поверхности из него выпал предмет. Через какое время $t$ предмет достигнет поверхности земли? Какое расстояние $S$ пролетит предмет за время полета? Принять $g = 10$ м/с$^2$. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Предмет выпал, имея такую же скорость, как и аэростат – 2 м/с, направленную вверх. Запишем уравнение для координаты $y$ предмета:

$$y=y_0+\upsilon_0 t-\frac{gt^2}{2}$$

И приравняем к нулю:

$$0=H+\upsilon_0 t-\frac{gt^2}{2}$$

$$0=24+ 2t-5t^2$$

Решаем квадратное:

$$\frac{D}{4}=\sqrt{1+5\cdot 24}$$

$$t=\frac{-1\pm \sqrt{1+120}}{-5}=2,4$$

Предмет пролетит немного вверх, пока его скорость не станет равной нулю, и затем упадет вниз с этой высоты. Определим, когда скорость обнулится:

$$0=\upsilon_0-gt_1$$

$$t_1=0,2$$

Можно расстояние найти и по формуле «без времени», $h$ - высота над точкой, где предмет выпал:

$$2gh=\upsilon_0^2$$

$$h=\frac{4}{20}=0,2$$

Таким образом, пройденный путь равен

$$S=2h+H=2\cdot 0,2+24=24,4$$

Ответ: предмет упадет через 2,4 с, пройдя путь 24,4 м.