Мячик в лифте и камешек, упавший на землю

Задачи, предложенные в статье, взяты из книги "Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач." Первая задача относительно простая, вторая - довольно сложная. Сложность состоит, например, в том, чтобы не запутаться с самого начала и четко различать понятия "путь" и "перемещение".

Задача 1.

 Подъемный кран опускает бетонную плиту с постоянной скоростью $\upsilon=1$ м/с. Когда плита находилась на расстоянии $h=4$ м над поверхностью земли, с нее упал небольшой камень. Каков промежуток времени $\tau$ между моментами, в которые камень и плита достигли земли? Толщиной плиты по сравнению с $h$ пренебречь.

Плита движется равномерно и достигнет земли за время $t_p=\frac{h}{\upsilon }$.

Определим время падения камня. Камень падает с ускорением свободного падения с высоты $h$, начальная его скорость равна $\upsilon$.

$$\upsilon t+\frac{gt^2}{2}=h$$

Получили квадратное уравнение относительно времени:

$$t^2+\frac{2\upsilon t}{g}-\frac{2h}{g}=0$$

$$t_k=\frac{-\frac{2\upsilon t}{g}\pm \sqrt{\frac{4\upsilon^2}{g^2}-\frac{8h}{g}}}{2}=-\frac{\upsilon}{g} \pm \frac{\upsilon}{g}\sqrt{1-\frac{2gh}{\upsilon^2 }}$$

Нас, очевидно, устроит только положительный корень:

$$t_k=-\frac{\upsilon}{g} + \frac{\upsilon}{g}\sqrt{1-\frac{2gh}{\upsilon^2 }}$$

Тогда разность между $t_p$ и $t_k$:

$$\tau=t_p-t_k=\frac{h}{\upsilon }+\frac{\upsilon}{g}\left(1-\sqrt{1-\frac{2gh}{\upsilon^2 }}\right)$$

Ответ: $\tau=t_p-t_k=\frac{h}{\upsilon }+\frac{\upsilon}{g}\left(1-\sqrt{1-\frac{2gh}{\upsilon^2 }}\right)$

Задача 2.

На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью, падает вертикально вниз упругий шарик. Определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за $\tau=0,6$ с, а за время между двумя последовательными ударами о пол проходит путь $L=4$ м относительно земли.

Обращу ваше внимание на то, что нам дан именно путь, а не перемещение. В этой задаче это очень важно.

Шарик движется с ускорением $g$, поскольку лифт имеет постоянную скорость. Он поднимается на максимальную высоту

$$h_{max}=\frac{g\tau^2}{2}$$

При падении скорость шарика будет равна $\upsilon=g\tau$, направлена она вниз, после удара скорость меняет направление, но остается такой же по модулю, так как шарик по условию упругий.

Если в какой-то момент времени шарик ударяется о пол, то и он, и кабина находятся на высоте $h$ над землей. Скорость шарика относительно земли равна его скорости относительно подвижной системы отсчета (кабины лифта) - $g\tau$, плюс скорость самой системы отсчета - $u$.

$$\upsilon=g\tau+u$$

В наивысшей точке скорость шарика относительно земли станет равной нулю:

$$\upsilon-gt=0$$

Время подъема шарика на максимальную высоту

$$t=\frac{\upsilon }{g}=\frac{ g\tau+u }{g}=\tau+\frac{u}{g}$$

За это время шарик поднимется вверх на высоту $\frac{gt^2}{2}$ и его координата станет равна $h+\frac{gt^2}{2}$.

После этого шарик начнет падать. Он ударится о пол кабины через время $2\tau$.

Кабина лифта тоже не стоит на месте. Она перемещается со скоростью $u$, поэтому ее координата станет равна $h+2u \tau$.

К задаче 2.

Теперь определяем путь, проделанный шариком. Он прошел путь вверх, равный $\frac{gt^2}{2}$, и путь вниз, равный $\frac{gt^2}{2}-2u\tau$, их сумма равна $L$ (выделено красной дугой).

$$\frac{gt^2}{2}+\frac{gt^2}{2}-2u\tau=L$$

$$gt^2-2u \tau=L$$

Подставим $t=\tau+\frac{u}{g}$:

$$g(\tau+\frac{u}{g})^2-2u \tau-L=0$$

Раскроем скобки:

$$g(\tau^2+2\tau \frac{u}{g}+\frac{u^2}{g^2})-2u \tau-L=0$$

Упрощаем:

$$g\tau^2+2\tau u+\frac{u^2}{g}-2u \tau-L=0$$

$$g\tau^2+\frac{u^2}{g}-L=0$$

$$g^2\tau^2+u^2-Lg=0$$

$$u^2=Lg- g^2\tau^2$$

$$u=\sqrt{ Lg- g^2\tau^2}$$

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то решение существует при $L-g \tau^2>0$

Подставим числа:

$$u=\sqrt{ 4\cdot10- 100 \cdot0,36}=2$$

Ответ: 2 м/с.