Красивое решение

Я учу своих учеников и учусь у них тоже. Иногда благодаря ученикам вдруг видишь альтернативное, более лаконичное и простое  решение задач. Когда мы решали эту задачу на занятии, Павел нарисовал график - и более простое решение сразу нашлось. Спасибо, Паша!

Задача. Водитель автомобиля, движущегося со скоростью $\upsilon=72$ км/ч, подъезжая к закрытому железнодорожному переезду, начал тормозить за 50 м до него. У переезда машина стояла $t_{st}=50$ с. После того как шлагбаум открыли, водитель набрал прежнюю скорость на том же отрезке пути. На сколько ближе к месту назначения оказался бы водитель автомобиля, если бы он ехал с прежней скоростью без остановки? Движение при разгоне и торможении считать равнопеременным.

Решение.

Скорость в 72 км/ч – это 20 м/с.

Нарисуем график скорости движения автомобилиста в зависимости от времени.

Графики скорости без остановки и с остановкой

Известно, что путь - это площадь фигуры под графиком скорости. Если бы автомобилист не стоял на переезде, он бы двигался с постоянной скоростью, и график представлял бы собой прямую линию. Тогда путь представлял бы собой площадь прямоугольника, заключенного под этим графиком.

Но так как водителю пришлось остановиться и некоторое время подождать, то из графика оказалась вырезанной "трапеция". Площадь этой трапеции - как раз и есть тот путь, который мы ищем. Это не пройденное автомобилистом расстояние. Тогда, если сможем определить площадь этой трапеции, то это и будет ответ на нашу задачу.

Высоту трапеции мы знаем - это скорость автомобилиста до торможения (и после разгона). Нижнее основание - время стоянки на переезде - тоже известно. Найдем верхнее основание трапеции.

Нам известно, что путь торможения составил 50 м - а это площадь заштрихованного треугольника. Тогда, зная его площадь и высоту, нетрудно найти основание - время.

$$S_{\Delta}=\frac{\upsilon \cdot t_{torm}}{2}$$

$$t_{torm}=\frac{2S_{\Delta}}{\upsilon}=\frac{100}{20}=5$$

Время разгона такое же, поэтому верхнее основание трапеции равно $t=t_{st}+2t_{torm}=50+5+5=60$ с.

Тогда площадь трапеции:

$$S=\frac{a+b}{2} \cdot h=\frac{t_{st}+2t_{torm}+t_{st}}{2} \cdot \upsilon=\frac{110}}{2} \cdot 20=1100$$

Ответ: на 1100 м.