Подготовка в СУНЦ МГУ - кинематика. Экзамен в 11 класс.

Предлагаю вашему вниманию задачи прошлых лет вступительного экзамена в СУНЦ МГУ, для поступления в 11 класс. Здесь собраны задачи из раздела "кинематика".

Задача 1.

  С какой минимальной скоростью $u$ должен двигаться по горизонтальной дороге автомобиль под дождем, чтобы его заднее стекло оставалось сухим? Скорость $\upsilon$  капель дождя вертикальна и равна по величине 10 м/с, стекло наклонено к вертикали под углом $\alpha=60^{\circ}$.

Чтобы стекло оставалось сухим, капли, подлетевшие к его верхней границе, должны не успевать пролететь расстояние $h$ за время, в течение которого автомобиль преодолеет расстояние $l$.

Время пролета по вертикали равно

$$t=\frac{h}{\upsilon}$$

За это время автомобиль должен сдвинуться на расстояние:

$$l=ut$$

Тогда

$$u=\frac{l}{t}=\frac{l}{h}\upsilon=\upsilon \operatorname{tg}{\alpha}$$

$$u=10\cdot\sqrt{3}=17,3$$

Ответ: $u=17,3$ м/с.

Задача 2.

Тело, двигавшееся равноускоренно, прошло за первую секунду путь $S_1=1$ м, за вторую - $S_2=2$  м, за третью - $S_3=3$ м и т.д. Какова его начальная скорость $\upsilon_0$?

Составим два уравнения для пройденного телом пути, например, для первой секунды и для двух секунд его движения:

$$\begin{Bmatrix}{ \upsilon_0t_1+\frac{at_1^2}{2}=S_1

} \\ {\upsilon_0(t_1+t_2)+\frac{a(t_1+t_2)^2}{2}=S_2}\end{matrix}$$

Подставим пути и время, так легче решать систему:

$$\begin{Bmatrix}{ \upsilon_0+\frac{a}{2}=1

} \\ {2\upsilon_0+2a=3}\end{matrix}$$

Вычитая из первого уравнения, умноженного на 4, второе, имеем:

$$\upsilon_0=0,5$$

Ответ: $\upsilon_0=0,5$ м/с.

Задача 3.

С какой минимальной по величине скоростью $\upsilon$ относительно воды должен двигаться пловец, пересекая реку шириной $a$, чтобы его «снос» составил величину $s$? Скорость течения реки постоянна и равна $u$. Под «сносом» понимается расстояние между точкой, где пловец достиг противоположного берега, и точкой, расположенной строго напротив точки отплытия.

К задаче 3

Эта задача отличается по сложности от двух предыдущих. Потому что непонятно, какова на самом деле скорость течения и куда направлял вектор своей скорости пловец.  Однако понятно, что конец вектора суммы скоростей пловца и реки должен находиться на прямой, соединяющей точки старта и финиша. Нарисуем возможные положения вектора скорости пловца (серым) и сложим их с вектором скорости реки (синим). Очевидно, что концы векторов $\upsilon_1$, $\upsilon_2$, $\upsilon_3$,  $\upsilon_4$ лежат на одной прямой, параллельной прямой $MN$. Тогда становится ясным, что самый короткий вектор скорости пловца (соответствующий  минимальной скорости) – перпендикуляр к этой прямой.  Треугольник $MOP$ подобен треугольнику $MKN$. Угол $KMN$ равен углу $MOP$. Косинус  этого угла равен

$$\cos{MKN}=\frac{KM}{MN}=\frac{OM}{OP}$$

Тогда через известные длины и скорость реки косинус этого угла:

$$\cos{MKN}=\frac{a}{\sqrt{a^2+s^2}}=\frac{\upsilon}{u}$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{au}{\sqrt{a^2+s^2}}$$

Ответ: $\upsilon=\frac{au}{\sqrt{a^2+s^2}}$.