Задачи на относительность движения из "Сириуса"

Задачи взяты из одного из курсов «Сириуса».

Задача 1.

На противоположных берегах прямолинейного участка реки точно напротив друг друга находятся два человека. Они одновременно начинают движение: первый бежит со скоростью $\upsilon_1=2$ м/с вдоль берега реки по течению, второй плывёт на катере, максимальная скорость которого относительно воды $\upsilon_2=13$ м/с. Ширина реки $L=60$ м. За какое минимальное время второй может догнать первого? Скорость течения $u=7$ м/с. Ответ выразить в секундах, округлив до десятых.

Решение. Переходим в СО бегуна. Тогда он стоит на месте, а скорость течения – 5 м/с. Так как скорость катера 13 м/с, что равно

$$13^2=12^2+5^2$$

Догоняем бегуна

То скорость катера поперек течения 12 м/с. Так как бегун стоит, то осталось переплыть реку в перпендикулярном направлении  за 5 с:

$$t=\frac{L}{\upsilon_{2\perp}}=\frac{60}{12}=5$$

Ответ: 5 с

Задача 2.

В безветренную погоду мотодельтаплан совершает полёт между пунктами A и B за $t=1,5$ часа при движении по прямой с максимальной скоростью. На сколько увеличится минимальное время полёта при ветре, дующем навстречу мотодельтаплану под углом $60^{\circ}$ к прямой AB? Модуль скорости ветра в три раза меньше модуля скорости мотодельтаплана. Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа.

Решение. Максимальная скорость дельтаплана

$$\upsilon_{max}=\frac{L}{t}$$

Скорость ветра в 3 раза меньше:

$$\upsilon_v=\frac{L}{3t}$$

Кроме того, ветер дует не в лоб дельтаплана, а под углом, поэтому имеет две проекции скорости: продольную и поперечную. Нужно преодолевать поперечную составляющую во избежание сноса:

$$\upsilon_{v \perp}=\frac{L}{3t}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, поскольку надо часть сил тратить на борьбу с ветром, на перемещение вперед  пойдет часть скорости, равная:

$$\upsilon_{\parallel}=\sqrt{\upsilon_{max}^2-\upsilon_{v \perp}^2}$$

$$\upsilon_{\parallel}=\sqrt{\frac{L^2}{t^2}-\frac{L^2}{9t^2}\cdot \frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{11}{12}\cdot\frac{L^2}{t^2}}=\frac{L}{t}\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Но у ветра есть еще и продольная составляющая скорости, которая как раз  «в лоб» дует и уменьшает скорость дельтаплана еще сильнее:

$$\upsilon=\upsilon_{\parallel}-\frac{L}{6t}$$

Ну а время тогда

$$t_x=\frac{L}{\upsilon}=\frac{t}{\sqrt{\frac{11}{12}-\frac{1}{6}}}=\frac{90}{0,79}=113,8$$

Ответ: на 24 минуты.

Задача 3.

Моторная лодка может развивать скорость (относительно воды) вплоть до 10 м/с. Человеку на этой лодке необходимо добраться от пристани A на одном берегу прямолинейного канала до пристани B на другом и вернуться обратно. Ширина канала 50 м, пристань B находится ниже пристани A по течению на 120 м, скорость течения в канале постоянна и равна 4 м/с. За какое минимальное время (пренебрегая временем разворота и пребывания у пристани B) можно осуществить такую переправу? Ответ выразите в секундах, округлив до целого числа.

Решение. Скорость лодки состоит из двух составляющих: $\upsilon_1$ - коллинеарна течению, $\upsilon_2$ - перпендикулярна ему. Пусть вторая равна $\upsilon_2=\frac{50}{t}$, тогда первая $\upsilon_1=\frac{120}{t}$. Но лодка идет по реке, и это надо учитывать. Течение будет увеличивать или уменьшать скорость $\upsilon_1$. Пусть лодка идет против течения, тогда

$$\upsilon_2^2=\upsilon^2-(\upsilon_1-\upsilon_r)^2=100-\left(\frac{120}{t}-4\right)^2=\frac{2500}{t^2}$$

$$\frac{2500}{t^2}=100-\left(\frac{120^2}{t^2}-\frac{240\cdot 4}{t}+16\right)$$

$$\frac{2500}{t^2}+\frac{120^2}{t^2}=100+\frac{960}{t}-16$$

$$\frac{16900}{t^2}-\frac{960}{t}-84=0$$

$$16900a^2-960 a-84=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=6600000$$

$$\sqrt{D}=2569$$

Корень (положительный)

$$t_1=\left(\frac{960+2569}{16900\cdot 2}\right)^{-1}=9,57$$

По течению все почти так же:

$$\upsilon_2^2=\upsilon^2-(\upsilon_1+\upsilon_r)^2=100-\left(\frac{120}{t}+4\right)^2=\frac{2500}{t^2}$$

$$\frac{2500}{t^2}=100-\left(\frac{120^2}{t^2}+\frac{240\cdot 4}{t}+16\right)$$

$$\frac{2500}{t^2}+\frac{120^2}{t^2}=100-\frac{960}{t}-16$$

$$\frac{16900}{t^2}+\frac{960}{t}-84=0$$

$$16900a^2+960 a-84=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=6600000$$

$$\sqrt{D}=2569$$

Корень (положительный)

$$t_2=\left(\frac{-960+2569}{16900\cdot 2}\right)^{-1}=21$$

То есть $t=t_1+t_2=9,6+21=30,6$ с.

Ответ: 31 с.

Задача 4.

Лайнер и буксир движутся навстречу друг другу: лайнер — на запад со скоростью 14 м/с, а буксир — на восток со скоростью 2 м/с. Шлейф дыма от трубы лайнера вытянулся в направлении на северо-восток, а шлейф дыма от трубы буксира — в направлении на северо-запад. Найдите величину скорости ветра. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых.

Решение. У ветра две составляющие: коллинеарная скоростям буксира и лайнера (1) и перпендикулярная им (направлена на север(2)). Найдем коллинеарную составляющую:

Рисунок к задаче 4

$$14-\upsilon_{parallel}=2+\upsilon_{parallel}$$

$$2\upsilon_{parallel}=12$$

$$\upsilon_{parallel}=6$$

Вычисляем скорость дыма

Так как оба дыма распространяются под углом $45^{\circ}$ к линии восток-запад, то перпендикулярная составляющая (2) должна быть равна как сумме скоростей ветра (1) и буксира, так и разности скоростей ветра (1) и лайнера (см. рисунок), то есть составляющая 2 – 8 м/с. Теперь по теореме Пифагора находим скорость ветра:

$$\upsilon=\sqrt{6^2+8^2}=10$$

Ответ: 10 м/с.