Задача о корабле и ветре

Задача. Корабль движется на запад со скоростью $\upsilon$. Известно, что ветер дует точно с юго-запада. Скорость ветра, измеренная на палубе корабля, равна $u_0$. Найдите скорость ветра относительно земли.

Задачи на относительность движения порой представляют собой  значительную трудность для школьников (и не только). Зато эти задачи, как правило, наиболее интересные.

Вектор измеренной скорости - результат суммирования векторов.

Выполним рисунок по тем данным, что имеются.

Так как $u_0$ - результат сложения векторов скорости корабля и скорости ветра, то, чтобы ее найти, выполним вычитание указаных векторов.  По закону сложения скоростей

$$\vec{ u_0}=-\vec{\upsilon }+\vec{u}$$

Тогда

$$\vec{u}=\vec{ u_0}+\vec{\upsilon }$$

Разложим вектор $\vec{u}$ на составляющие по осям. Оси введем так: ось $x$ - на восток, ось $y$ - на север. Тогда

$$\vec{u}=\vec{u\cos{\alpha}}}+\vec{u\sin{\alpha}}$$

Тогда можем записать теорему Пифагора, уже в скалярном виде:

$$(u\cos {\alpha}+\upsilon)^2+(u \sin{\alpha})^2=u_0^2$$

Надо определить $u$, поэтому раскроем скобки:

$$ u^2\cos^2 {\alpha}+2u \upsilon \cos {\alpha}+\upsilon^2+ u^2\sin^2 {\alpha}= u_0^2$$

Или, с применением основного тригонометрического тождества,

$$u^2+2u \upsilon \cos {\alpha}+\upsilon^2= u_0^2$$

Имеем квадратное уравнение относительно $u$:

$$u^2+2u \upsilon \cos {\alpha}+\upsilon^2-u_0^2=0$$

Определим дискриминант:

$$D=4 \upsilon^2\cos^2 {\alpha}-4(\upsilon^2-u_0^2)= 4 \upsilon^2\cos^2 {\alpha}-4\upsilon^2+4u_0^2=$$

$$=4 \upsilon^2(\cos^2 {\alpha}-1)+ 4u_0^2=4u_0^2-4 \upsilon^2\sin^2 {\alpha}=4(u_0^2- \upsilon^2\sin^2 {\alpha})$$
Определяем скорость ветра относительно земли:

$$u=\frac{-2\upsilon \cos{\alpha } + \sqrt{4(u_0^2- \upsilon^2\sin^2 {\alpha})}}{2}$$

$$u=\sqrt{(u_0^2- \upsilon^2\sin^2 {\alpha})}-\upsilon \cos{\alpha}$$

$$u=\sqrt{(u_0^2- \upsilon^2\frac{1}{2})}-\upsilon \frac{1}{\sqrt{2}}$$