Парашютисты

В этой статье рассмотрены задачи, в которых присутствует как движение с постоянной скоростью, так и равноускоренное движение, а именно, падение тел. Также эти задачи включают и относительность движения, потому что парашютисты двигаются, и бросают тела относительно себя, а следовательно, их скорость относительно земли надо определить.

Задача 1.

Парашютист, спускающийся равномерно со скоростью $\upsilon=5$ м/с, в момент, когда он находился на высоте $h=100$ м над поверхностью земли, бросил вертикально вниз небольшое тело со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с относительно себя. Какой промежуток времени разделяет моменты приземления тела и парашютиста?

Проще всего определить время, которое потребуется парашютисту для приземления. Он двигается с постоянной скоростью, поэтому

$$t_p=\frac{S}{\upsilon}=\frac{100}{5}=20$$

Итак, парашютист приземлится через 20 с. Тело, очевидно, приземлится быстрее. Нам дана его скорость относительно парашютиста, найдем его скорость относительно земли: $\upsilon+\upsilon_0=15$ м/с. Это начальная скорость тела, а падать оно будет с ускорением $g$, поэтому:

$$h=(\upsilon+\upsilon_0)t+\frac{gt^2}{2}$$

Корни этого квадратного уравнения:
$$t_{1,2}=\frac{-\upsilon-\upsilon_0 \pm \sqrt{(\upsilon+\upsilon_0)^2+2gh}}{g}$$

Берем положительный корень:

$$t_t=\frac{-\upsilon-\upsilon_0 + \sqrt{(\upsilon+\upsilon_0)^2+2gh}}{g}=\frac{-15 + \sqrt{225+2000}}{10}=3,2$$

Тогда разность времен полета тела и парашютиста составляет:

$$\Delta t=t_p-t_t=20-3,2=16,8$$

Ответ: 16,8 с.

Задача 2.

Парашютист спускается равномерно со скоростью $\upsilon=0,5$ м/с. В какой-то момент времени парашютист подбрасывает вертикально вверх небольшое тело с начальной скоростью $\upsilon_0=4,5$ м/с относительно себя.  Какое расстояние окажется между парашютистом и телом, находящимся в высшей точке своего полета?

Для начала определим скорость тела относительно земли: $\upsilon_t=-\upsilon+\upsilon_0=4$ м/с. Это начальная скорость тела, движение которого является равнозамедленным. В верхней точке полета скорость тела равна 0:

$$\upsilon_t^2=2gh$$

Отсюда находим максимальную высоту подъема:

$$h=\frac{\upsilon_t^2}{2g}=\frac{16}{20}=0,8$$
Найдем время полета тела:

$$\upsilon_t-gt=0$$

$$t=\frac{\upsilon_t }{g}=0,4$$

За это время парашютист успел пролететь $S=\upsilon t=0,5 \cdot 0,4=0,2$ м.

Поэтому между телом и парашютистом оказалось $0,2+0,8=1$ м.

Ответ: 1 м.

Задача 3.

Парашютист, опускающийся равномерно со скоростью $\upsilon=5$ м/с, бросает вертикально вверх небольшое тело со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с относительно себя. Через какое время $t$ после броска тело и парашютист вновь окажутся на одной высоте? Чему будет равна скорость тела в этот момент? На какой высоте относительно точки броска это произойдет?

Обратим внимание, что снова скорость тела дана относительно парашютиста. Относительно земли она будет равна $\upsilon_t=\upsilon_0-\upsilon=5$ м/с. С такой начальной скоростью тело взлетит на высоту

$$h=\frac{\upsilon_t^2}{2g}=\frac{25}{20}=1,25$$

Время взлета тела вверх равно:

$$\upsilon_t-gt=0$$

$$t=\frac{\upsilon_t }{g}=0,5$$

За это время парашютист пролетит $S=\upsilon t=2,5$ м и тело с парашютистом будет разделять 3,75 м. На этом этапе решения можно записать формулу координаты тела и парашютиста, и затем приравнять ординаты, и из этого уравнения найти время. Уравнение движения парашютиста (начало координат совмещаем с брошенным им телом, ось направляем вниз, тогда $x_0=3,75$):

$$x_p=x_0+\upsilon t$$

Уравнение движения тела (свободное падение без начальной скорости):

$$x_t=\frac{gt^2}{2}$$

Приравниваем две координаты:

$$ x_p= x_t$$

$$ x_0+\upsilon t=\frac{gt^2}{2}$$

$$ gt^2-2\upsilon t-2x_0=0$$
Корни этого квадратного уравнения:

$$t_{1,2}=\frac{2\upsilon \pm \sqrt{4\upsilon^2+8gx_0}}{2g}$$

Берем положительный корень:

$$t_t=\frac{\upsilon + \sqrt{\upsilon^2+2gx_0}}{g}=\frac{5 + \sqrt{25+75}}{10}=1,5$$

Таким образом, время до встречи тела и парашютиста равно $t_t+t=2$ с.

Найдем скорость тела в этот момент:

$$\upsilon_2=gt=20$$

Это – скорость тела относительно земли, а относительно парашютиста, следовательно, будет 15 м/c.

Поскольку за время 1,5 с парашютист пролетит 7,5 м, да еще 2,5 м он пролетел до достижения телом максимальной высоты, то встреча произойдет на 10 м ниже места броска.

Ответ: 2 с, 20 м/с, 10 м.