Относительность движения - простые задачи

Начинать такую сложную тему, как относительность движения, нужно с простых задач. Тема и правда непростая, нужно усвоить хорошо закон сложения классических скоростей (то есть не релятивистских). Правильно выбрали неподвижную систему отсчета, правильно определили скорость подвижной системы отсчета, не забыли про векторное сложение скоростей - и все должно получиться.

Задача 1.

Скорость велосипедиста равна $u=10$ м/с, а скорость встречного ветра –$\upsilon= 4$ м/с. Какова скорость ветра относительно велосипедиста? Какой была бы скорость ветра относительно него, если бы ветер был попутный?

Наверное, все замечали, как сильно развевается на ветру одежда и волосы, если мы выглянем в окно несущегося поезда, или поднимемся на палубу мощного корабля. Нам кажется, что ветер усилился, но на самом деле это наша собственная скорость увеличилась, и к скорости встречного ветра добавилась скорость транспортного средства. Чтобы найти скорость ветра относительно велосипедиста (скорость в подвижной системе отсчета), нужно вычесть из  скорости ветра (скорость в неподвижной системе)  скорость велосипедиста (скорость системы отсчета). Не забываем, что скорости – это вектора, поэтому вычитание будем производить векторное, с учетом направлений скоростей.  Тогда  при встречном ветре получим:

$$\vec{u_1}=\vec{\upsilon}-\vec{u}$$

$$\mid u_1 \mid=\mid -4-10 \mid=14$$

А при попутном:

$$u_1=4-10=6$$

Ответ: при встречном ветре – 14 м/с, при попутном – 6 м/с.

Задача 2.

Нарисовать траекторию движения точки обода колеса велосипеда при его движении относительно: а) рамы велосипеда; б) земли. Зависит ли вид траектории от выбора тела отсчета? Зависят ли путь и перемещение от выбора системы отсчета?

Траекторией движения в первом случае будет окружность.  Во втором случае траектория будет выглядеть так:

Теперь просто ответить на вопросы задачи: да, вид траектории зависит от выбора тела отсчета (если бы за точку отсчета выбрали точку на ободе, то траектория обратилась бы в точку – относительно такой точки отсчета движения не было бы). Также и путь, и перемещение зависят от выбранной точки отсчета.

Задача 3.

Самолет поднимается с аэродрома под  углом $20^{\circ}$ к горизонту со скоростью $\upsilon=216$ км/ч. Найти вертикальную и горизонтальную составляющие скорости. Какой высоты достигнет самолет за $t=1$ с подъема? Как изменится скорость самолета при встречном ветре 20 м/с?

Сначала найдем вертикальную и горизонтальную составляющие скорости самолета:

$$\upsilon_{gor}=\upsilon \cdot \cos{\alpha}=\frac{216000}{3600}\cdot \cos{20^{\circ}}=60 \cdot 0,939=56,34$$

$$\upsilon_{vert}=\upsilon \cdot \sin{\alpha}=\frac{216000}{3600}\cdot \sin{20^{\circ}}=60 \cdot 0,342=20,52$$

Самолет поднимется на 20,5 м за 1 секунду. Теперь определим, как изменится скорость самолета со встречным ветром. Ветер, очевидно, уменьшит горизонтальную составляющую:

$$\upsilon_{1gor}=\upsilon_{gor}-\upsilon_{v}=56,34-20=36,34$$

Скорость самолета при встречном ветре найдем, воспользовавшись теоремой Пифагора:

$$\upsilon_1=\sqrt{{\upsilon_{1gor}}^2+{\upsilon_{vert}}^2}=\sqrt{1741}=41,7$$

Получается, что скорость самолета упала почти на 20 м/с. Вылет, скорее всего, отменят.

Ответ: самолет поднимется на 20,5 м за 1 секунду. При встречном ветре скорость самолета станет равна 41,7 м/с.

Задача 4.

Теплоход длиной $l=300$ м движется прямолинейно по озеру со скоростью $\upsilon_1$. Катер, имеющий скорость $\upsilon_2=90$ км/ч, проходит расстояние от кормы до носа движущегося теплохода и обратно за время $t=37,5$ с. Найти скорость теплохода.

Когда катер обгоняет теплоход (движется от кормы к носу), скорость обгона равна $\upsilon_2-\upsilon_1$. При движении катера от носа к корме скорость сближения катера и теплохода равна: $\upsilon_2+\upsilon_1$. Тогда время движения от кормы к носу равно:

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_2-\upsilon_1}$$

А время движения от носа к корме:

$$ t_2=\frac{l}{\upsilon_2+\upsilon_1}$$

В сумме эти два времени дадут $t=37,5$ с:

$$\frac{l}{\upsilon_2-\upsilon_1}+\frac{l}{\upsilon_2+\upsilon_1}=37,5$$

Прежде чем решать, переведем скорость катера в м/с:

$$\upsilon_2=\frac{90000}{3600}=25$$

Теперь решаем уравнение:

$$\frac{300}{25-\upsilon_1}+\frac{300}{25+\upsilon_1}=37,5$$

$$\frac{300(25+\upsilon_1)+300(25-\upsilon_1)}{25^2-\upsilon_1^2}=37,5$$

После переноса влево и приведения к общему знаменателю имеем квадратное уравнение:

$$25^2-\upsilon_1^2=400$$

Откуда

$$\upsilon_1^2=225$$

$$\upsilon_1=15$$

Ответ: скорость теплохода равна 15 м/с.

Задача 5.

Пролетая над пунктом А, пилот вертолета догнал воздушный шар, который сносило ветром по курсу вертолета. Через полчаса пилот повернул обратно и встретил воздушный шар в 30 км от пункта А. Чему равна скорость ветра, если  мощность двигателя вертолета оставалась постоянной?

Задача не требует решения: шар снесло за час на 30 км, следовательно, скорость ветра 30 км/ч. Хотя, конечно, можно было бы определить скорость удаления шара и вертолета на пути туда, затем скорость сближения на пути обратно… Записать разность расстояний, которые пролетел пилот туда и обратно и приравнять эту разность к 30 км… Но ответ будет тот же самый, тогда зачем усложнять?