Относительность движения. Олимпиадная подготовка, 10 класс

Задачи на относительность движения, как правило, наиболее сложно даются ребятам. Действительно, нужно научиться немного перевоплощаться: то представить себя мухой на стекле, то пересесть на дождевую каплю...

Задача 1.

Капли дождя в безветренную погоду падают отвесно со скоростью $\upsilon=10$ м/с. С какой скоростью $u$ должен двигаться автомобиль, чтобы капли падали на его переднее стекло перпендикулярно поверхности стекла, если оно наклонено к горизонту под углом $\alpha=45^{\circ}.$ Ответ выразить в км/ч, округлив до целых.

Решение.

Пусть $\vec\upsilon_{_{otn}}$ — скорость капель относительно движущегося автомобиля. Из закона сложения скоростей получаем, что $\vec\upsilon_{_{otn}}=\vec\upsilon-\vec u.$ Нарисуем треугольник скоростей. Для системы отсчета капель вектор скорости автомобиля надо направить в противоположную сторону.

Вектор скорости капель $\vec\upsilon$ перпендикулярен горизонтальной поверхности автомобиля, а вектор относительной скорости $\vec\upsilon_{_{otn}}$ перпендикулярен поверхности стекла. Значит, угол между векторами $\vec\upsilon$ и $\vec\upsilon_{_{otn}}$ равен $\alpha$, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника скоростей найдём, что

$$u=\upsilon\cdot\operatorname{tg}{\alpha}=10$$

Ответ: 10 м/с.

 

Задача 2.

Пассажирский теплоход движется по течению реки со скоростью $\upsilon_1=36$ км/ч относительно воды. Катер проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за время $t=10$ с. Скорость катера относительно воды $\upsilon_2=72$ км/ч. Найти длину теплохода $L.$ Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

От кормы до носа теплохода катер проплывает за время

$$t_1=\frac{L}{\upsilon_2-\upsilon_1}.$$

От носа до кормы катер проплывет за время

$$t_2=\frac{L}{\upsilon_2+\upsilon_1}.$$

Общее время катера в пути

$$t=t_1+t_2=\frac{L}{\upsilon_2-\upsilon_1}+\frac{L}{\upsilon_2+\upsilon_1}=\frac{2L\cdot \upsilon_2}{\upsilon_2^2-\upsilon_1^2},$$

откуда искомая длина теплохода равна

$$L=\frac{t}{2\upsilon_2}\cdot(\upsilon_2^2-\upsilon_1^2)=75.$$

Ответ: 75 м.

Задача 3.

Из точки $B$ без начальной скорости отпускают тело. Одновременно из точки $A$ под углом $\alpha$ к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе.

Определите, чему равен тангенс угла $\alpha,$ если $H=3$ м, а $L=1$ м. Ответ округлите до десятых. Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение.

Перейдём в систему отсчёта верхнего тела. Поскольку оно изначально покоилось, нижнее тело имеет относительно верхнего скорость $\vec\upsilon_0.$

Поскольку оба тела движутся с одинаковым ускорением $g,$ относительная скорость остаётся постоянной.

Чтобы тела столкнулись, необходимо скорость нижнего тела относительно верхнего направить прямо на верхний шар. Таким образом, тангенс искомого угла равен

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{H}{L}=3.$$

Ответ: 3.

 

Задача 4.

По параллельным железнодорожным путям едут в одном направлении два поезда: пассажирский и товарный. Пассажирский поезд едет со скоростью $\upsilon_1=78$ км/ч, а товарный — со скоростью $\upsilon_2=60$ км/ч. Длина одного вагона пассажирского поезда $l=20$ м, а состоит он из $N=15$ вагонов. Длина одного вагона товарного поезда такая же, но в нём на $\Delta N=10$ вагонов больше. В течение какого времени $t$ пассажирский поезд будет обгонять товарный? Ответ выразить в с, округлив до целых.

textit{Замечание}: в количестве вагонов обоих поездов посчитан также и локомотив, длина которого равна длине вагонов.

Решение.

Поскольку пассажирский поезд обгоняет товарняк, то его скорость относительно товарного поезда равна разности скоростей $\upsilon_1$ и $\upsilon_2.$ С этой скоростью $\upsilon_1-\upsilon_2$ пассажирский поезд пройдёт путь, равный сумме длин обоих составов $L_1$ и $L_2.$ Здесь $L_1$ — длина пассажирского поезда, а $L_2$ — длина товарного.

Поскольку движение поездов равномерное, то

$$t=\frac{L_1+L_2}{\upsilon_1-\upsilon_2}.$$

Нам осталось выразить длины поездов через длину каждого вагона и их число. Длина пассажирского поезда составляет

$$L_1=N\cdot l,$$

а товарного —

$$L_2=(N+\Delta N)\cdot l$$

Подставляя длины поездов в выражение для времени, получаем

$$t=\frac{N\cdot l+(N+\Delta N) \cdot l}{\upsilon_1-\upsilon_2}=\frac{(2N+\Delta N) \cdot l }{\upsilon_1-\upsilon_2}=160.$$

Ответ: 160 с.

Задача 5.

Две шоссейные дороги пересекаются под прямым углом. По дорогам едут грузовик со скоростью $\upsilon_1=54$ км/ч и легковой автомобиль со скоростью $\upsilon_2=90$ км/ч, оба в направлении к перекрёстку. В некоторый момент они оказались на одинаковом расстоянии $S=400$ м от перекрёстка.

Через сколько времени $t$ с этого момента расстояние между грузовым и легковым автомобилями станет наименьшим? Ответ выразить в с, округлив до целых.

Чему равно это минимальное расстояние $L_{min}$? Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

Выполним чертёж к задаче. Изобразим шоссейные дороги отрезками $AB$ и $BC$, и пусть перекрёсток располагается в точке $B.$ Пусть длины отрезков $AB$ и $BC$ равны расстоянию $S$ и при этом в точке $A$ находится грузовик, движущийся со скоростью $\vec\upsilon_1,$ а в точке $C$ — легковушка, движущаяся с большей скоростью $\vec\upsilon_2.$

Теперь построим вектор относительной скорости $\vec\upsilon_{_{otn}}$ легкового автомобиля относительно грузового. По закону сложения скоростей

$$\vec\upsilon_2=\vec\upsilon_{_{otn}}+\vec\upsilon_1$$

Для построения $\vec\upsilon_{_{otn}}$ перенесём вектор $\vec\upsilon_1$ не меняя его направления, из точки $A$ в точку $C$ и замкнём вектором $\vec\upsilon_{_{otn}}$ концы векторов $\vec\upsilon_1$ и $\vec\upsilon_2,$ направив его от конца вектора $\vec\upsilon_1$ к концу вектора $\vec\upsilon_2.$ Теперь перенесём вектор $\vec\upsilon_{_{otn}}$ параллельно самому себе в точку $C,$ где находится в данный момент легковой автомобиль.

Вот с такой скоростью $\vec\upsilon_{_{otn}}$ и в таком направлении вдоль прямой $DC$ двигался бы легковой автомобиль, если бы грузовой был неподвижен. Если теперь из точки $A$ опустить перпендикуляр на прямую $DC,$ то его длина $AD$ и будет минимальным расстоянием между автомобилями $L_{min}.$

Из подобия треугольников $ADE$ и $CBE$ получается, что

$$\frac{AD}{AE}=\frac{BC}{EC}.$$

Заметим, что $AD=L_{min},$ а $BC=S.$ Обозначим $AE=l,$ тогда $EB=S-l.$ Гипотенуза треугольника $CBE$ по теореме Пифагора будет равна $\sqrt{(S-l)^2+S^2}.$ Таким образом соотношение подобия будет иметь вид

$$\frac{L_{min}}{l}=\frac{S}{\sqrt{(S-l)^2+S^2}},$$

откуда

$$L_{min}=\frac{l\cdot S}{\sqrt{(S-l)^2+S^2}}.$$

Заметим, что треугольник $CBE$ и треугольник, образованный векторами скоростей $\vec\upsilon_{_{otn}},~\vec\upsilon_1$ и $\vec\upsilon_2$ (общий угол при точке $C$) подобны.

Из подобия этих треугольников следует соотношение $\frac{EB}{BC}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$ или

$$\frac{S-l}{l}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}$$

откуда длина $l$ выражается по формуле

$$l=S\cdot\frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{\upsilon_2}.$$

Подставляя $l$ в выражение для $L_{min},$ получаем окончательно, что

$$L_{min}=\frac{S\cdot(\upsilon_2-\upsilon_1)\cdot S}{\upsilon_2\sqrt{S^2\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}+S^2}}=\frac{S\cdot(\upsilon_2-\upsilon_1)}{\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}}=138.$$

Чтобы найти время, через которое расстояние между автомобилями станет минимальным, разделим длину отрезка $DC,$ равный расстоянию, которое прошёл бы легковой автомобиль с относительной скоростью $\vec\upsilon_{_{otn}}$ от точки $C$ до точки $D$ на величину этой скорости.

Длину отрезка $AD$ найдём из теоремы Пифагора. Получается, что

$$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{AB^2+BC^2-AD^2}=\sqrt{S^2+S^2-L_{min}^2}=\sqrt{2S^2-L_{min}^2}.$$

В свою очередь

$$\upsilon_{_{otn}}=\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}.$$

Получаем окончательно, что искомое время равно

$$t=\frac{DC}{\upsilon_{_{otn}}}=\frac{\sqrt{2S^2-L_{min}^2}}{\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}}=19.$$

Ответ: 19 с.