Относительность движения - задачи про велосипедистов, болиды и лодки.

Все задачи данной статьи из курса «Сириуса» по кинематике. Я скромно предлагаю свои решения этих задач.

Задача 1.

Две моторные лодки отплыли одновременно от одного берега прямолинейного канала с быстрым течением (в момент «старта» они находились совсем рядом). Рулевой первой лодки держал курс строго перпендикулярно берегам, а рулевой второй лодки направлял её нос под углом $30^{\circ}$ к берегу. Лодки двигались с постоянными относительно воды скоростями и к противоположному берегу причалили одновременно. Ширина канала $L=70$ м. На каком расстоянии друг от друга находились лодки в момент причаливания? Ответ запишите в метрах, округлив до целого числа.

Решение. Скорости у лодок разные. Один лодочник правит со скоростью $\upsilon$ перпендикулярно берегу, пусть его время движения $t$. Второй тоже двигается время $t$, иначе бы они не пристали бы одновременно.

$$\upsilon t=L$$

$$t=\frac{L}{\upsilon}$$

Значит, его скорость больше, но ее перпендикулярная берегу составляющая тоже равна $\upsilon$! Тогда полная скорость второго лодочника $2\upsilon$, а скорость течения $\upsilon \cdot \sqrt{3}$.

Снос первой лодки составит

$$S=\upsilon \cdot \sqrt{3}\cdot t=\upsilon \cdot \sqrt{3}\cdot \frac{L}{\upsilon}=L\sqrt{3}=70\sqrt{3}=121$$

Ответ: расстояние между лодками равно сносу первой лодки по течению и составляет 121 м.

Задача 2.

Велосипедист и автомобиль подъезжают по перпендикулярным дорогам к перекрёстку. Когда велосипедист проезжал перекрёсток, автомобиль ещё не доехал до перекрёстка 100 м. На каком минимальном расстоянии окажутся велосипедист и автомобиль в процессе движения, если их скорости постоянны и равны $\upsilon_1=7$ м/с у велосипедиста и $\upsilon_2=24$ м/с у автомобиля? Ответ запишите в метрах, округлив до целого числа.

Решение. Перейдем в СО велосипедиста. Тогда в этой системе отсчета велосипедист неподвижен в центре перекрестка, а автомобиль будет ехать со скоростью

$$\upsilon_{otn}=\sqrt{24^2+7^2}=25$$

Рисунок к задаче 2

Тогда минимальное расстояние, на котором окажутся участники движения, равно высоте треугольника $h$:

$$h=\frac{24x\cdot 7x}{25x}$$

$$x=\frac{100}{24}$$

$$h=28$$

Ответ: кратчайшее расстояние – 28 м.

Определим еще, через какое время произойдет сближение. К нужному моменту автомобиль пройдет расстояние $L$, его легко определить с помощью, например, подобия, $L=96$ м. То есть

$$t=\frac{L}{\upsilon_2}=\frac{96}{25}=3,84$$

Ответ: сближение произойдет через 3,84 с

Задача 3.

Велосипедист и автомобиль подъезжают по перпендикулярным дорогам к перекрёстку. Они движутся с постоянными скоростями $\upsilon_1=10$ м/с у велосипедиста и $\upsilon_2=24$ м/с у автомобиля. Через некоторое время после того, как велосипедист проехал перекрёсток, расстояние между ним и автомобилем, которое до этого момента уменьшалось, оказалось равно 60 м, а затем оно начало увеличиваться. На каком расстоянии от перекрёстка окажется велосипедист в тот момент, когда автомобиль достигнет перекрёстка? Ответ запишите в метрах, округлив до целого числа.

Решение. Снова переходим в СО велосипедиста. В этой системе отсчета он неподвижен, а автомобиль движется со скоростью (см. рисунок к предыдущей задаче):

$$\upsilon_{otn}=\sqrt{10^2+24^2}=26$$

60 м – это кратчайшее расстояние между велосипедистом и автомобилем.

Нарисуем треугольник перемещений. Углы в нем такие же, как и в треугольнике скоростей, то есть

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{10}{24}$$

Рисунок к задаче 3

Таким образом,

$$\frac{h}{y}=\operatorname{tg}\alpha$$

$$\frac{h}{y}=\frac{10}{24}$$

$$y=144$$

Тогда $\cos \alpha=\frac{y}{L}=\frac{12}{13}$, $L=\frac{13y}{12}=156$ м.

Следовательно, автомобиль находится в 156 м от перекрестка и достигнет его через

$$t=\frac{L}{\upsilon_2}=\frac{156}{24}=6,5$$

А велосипедист к тому моменту отъедет на

$$l_{vel}=\upsilon_1 t=10\cdot 6,5=65$$

Ответ: 65 м

Задача 4.

Космический корабль, исследующий пространство за орбитой Плутона, двигался прямолинейно с постоянной скоростью 20 км/с относительно инерциальной системы отсчета, связанной с центром Солнца. Радары корабля зафиксировали прямо по курсу на расстоянии 60 км крупный болид, летящий со скоростью 5 км/с навстречу кораблю под углом $60^{\circ}$ к соединяющей их линии (скорость болида дана в той же системе отсчета). На каком минимальном расстоянии от корабля пролетит болид? Ответ дайте в километрах, округлив до целого числа.

Решение. Нарисуем треугольник скоростей:

Рисунок к задаче 4

В этом треугольнике с помощью теоремы косинусов найдем $\upsilon_{otn}$:

$$\upsilon_{otn}^2=\upsilon_{kor}^2+\upsilon_{bol}^2-2\upsilon_{kor}\upsilon_{bol}\cos 120^{\circ}$$

$$\upsilon_{otn}^2=400+25-2\cdot 20\cdot 5 \cos 120^{\circ}=525$$

А теперь в том же треугольнике определим угол $\gamma$, и тоже с помощью теоремы косинусов:

$$\upsilon_{bol}^2=\upsilon_{kor}^2+\upsilon_{otn}^2-2\cdot \upsilon_{kor}\cdot \upsilon_{otn}\cos \gamma$$

$$25=400+525-2\cdot 20\cdot \sqrt{525}\cos \gamma$$

$$\cos \gamma=0,981$$

Через основное тригонометрическое тождество $\sin \gamma=0,189$, и тогда в треугольнике перемещений определим минимальное расстояние между болидом и кораблем:

Треугольник перемещений

$$x=60\sin \gamma=60\cdot 0,189=11,34$$

Ответ: 11 км