Кинематические связи. Подготовка к олимпиадам, 9 класс

В задачах этого плана обычно пользуются фактом нерастяжимости нити: если где-то прибавилось, то где-то ровно столько же и убавилось... И если точки связаны, то проекции их скоростей на нить обязаны быть равны, иначе условие нерастяжимости нарушается.

Задача 1.

За катером, движущимся со скоростью $\upsilon=30$ км/ч, едет спортсмен на водных лыжах. Углы между векторами скоростей катера и лыжника и тросом равны: $\alpha=30^{\circ}$; $\beta=60^{\circ}$. Определить скорость лыжника $u$. Ответ выразить в км/ч, округлив до целых. Фал не провисает.

К задаче 1

Решение.

Так как фал натянут, то из кинематической связи для прямой натянутой нерастяжимой нити $\upsilon \cdot \cos \alpha=u\cdot \cos \beta$, откуда

$$u=\frac{\upsilon \cdot \cos \alpha }{\cos \beta }\approx52.$$

Ответ: 52 км/ч.

Задача 2.

Груз поднимается при помощи двух неподвижных и одного подвижного блоков. Определить скорость w груза в момент, когда угол между нитями равен $\alpha=120^{\circ}$, если нити вытягиваются со скоростями $u=3$  м/с и $\upsilon=2$ м/с. Ответ дать в м/с, округлив до целых.

К задаче 2

Решение.

Сумма проекций скорости среднего блока на левую и правую нити $2w\cdot \cos\frac{\alpha}{2}$ равна скорости убывания длины нити между крайними блоками $u+\upsilon$. Значит,

$$w=\frac{ u+\upsilon }{2\cos\frac{\alpha}{2}}=5.$$

Ответ: 5 м/с.

Задача 3.

По сторонам прямого угла движется стержень. Конец В стержня движется вправо с постоянной скоростью $\upsilon=2,82$ м/с. Определить скорость точки $C$ в момент, когда угол между стержнем и вертикалью равен $\alpha=45^{\circ}$. Конец $A$ стержня скользит все время по вертикальной стене. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

К задаче 3

Решение.

Т.к отрезок $OC$ -  всегда медиана прямоугольного треугольника $AOB$, то $OC$ всегда равен половине длины стержня $L$. Следовательно, точка $C$ движется по окружности радиусом $\frac{L}{2}$. В момент, когда угол $\alpha$ становится равным $45^{\circ}$, скорость точки $C$ направлена по стержню. Из кинематической связи проекции скоростей точек $B$ и $C$ на ось стержня равны: $\upsilon_c=\upsilon \cdot \cos \alpha=2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

Задача 4.

Доска длиной $L=2$ м одним концом лежит на цилиндре, а другой конец удерживается человеком. Человек начинает толкать доску вперед, вследствие чего цилиндр катится без проскальзывания. Какой путь должен пройти человек, чтобы дойти до цилиндра? Ответ выразить в м, округлив до целых.

К задаче 4

Решение.

Пусть центр колеса катится со скоростью $\upsilon$. Линейная скорость верхней точки колеса равна $2\upsilon$, такая же и скорость человека в земной системе отсчета. В системе отсчета центра колеса человек приближается к колесу со скоростью $\upsilon$. Это движение займет время $t_0=\frac{L}{\upsilon }$, но относительно земли за это время человек пройдет расстояние $S=2\upsilon\cdot t_0=2L=4$ м.

Ответ: 4 м.

Задача 5.

С каким ускорением движется груз 2, если блок имеет ускорение $3a$ вверх, а груз 1 — ускорение $a$ вниз? $a=2$ м/c$^{2}$. Ответ дать в м/c$^{2}$, округлив до целых.

К задаче 5

Решение.

Предположим, что тело 2 неподвижно, тогда нить должна растянуться на $\frac{6at^2}{2}$ из-за движения блока и на $\frac{at^2}{2}$ из-за движения груза 1. Но это невозможно, так как нить нерастяжима, следовательно, груз 2 должен за это время $t$ подняться на расстояние $\frac{7at^2}{2}$. То есть он движется с ускорением $7a$ вверх: $7a=14$ м/c$^2.$

Ответ: 14 м/c$^2$.