Кинематика, олимпиадная подготовка - 3

Две задачи по кинематике, попались на просторах интернета.

Задача 1.

Неудачливые охотники на привале развлекались стрельбой по брошенным вертикально вверх бутылкам. Как известно, из-за конечной скорости пули стрельбу по движущимся объектам ведут с некоторым упреждением, то есть целятся не в сам объект, а несколько впереди него. Один из охотников был совсем неопытным и стрелял без упреждения (целился прямо в бутылку). И тем не менее он бутылку разбил. С какой скоростью бутылка была брошена вверх, если расстояние от стрелка до бросавшего бутылку 30 м, а выстрел был произведен под углом $30^{\circ}$ градусов к горизонту?

Решение. Пуля летит по параболе. За время полета она немного «упадет». Перейдем в СО бутылки. Бутылка неподвижна в этой СО. Чтобы пуля попала в бутылку, относительная скорость должна быть направлена на бутылку. А по условию абсолютная скорость направлена на бутылку. Значит, скорость бутылки – ноль! А это означает, что бутылка находится в наивысшей точке траектории.

$$\upsilon_0=\sqrt{2gH}$$

$$H=30\operatorname{tg}\alpha=10\sqrt{3}=17,32$$

$$\upsilon_0=\sqrt{20\cdot 17,32}=18,61$$

Ответ: $\upsilon_0=18,61$ м/с.

Задача 2.

Автомобиль проехал по пятикилометровому участку дороги. Специальный прибор при этом записывал показания спидометра через каждые 10 метров. В результате получилась зависимость скорости автомобиля $\upsilon$ от пройденного пути $x$, показанная на рисунке. Оцените, за какое время $t$ автомобиль проехал эти пять километров.

К задаче 2

Решение.

$$\Delta t_i=\frac{\Delta x_i}{\upsilon_i}$$

Или это можно представить как

$$\Delta t_i=\Delta x_i \frac{1}{\upsilon_i}$$

А это произведение, если его просуммировать, даст площадь под соответствующим графиком. Построим такой график:

Перерисованный график

Подсчет площади под ним дает около 100 клеток. А это примерно 100 с.

Ответ: $100\pm 5$ с.

Задача 3.

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$ и проехали весь путь между ними с постоянными скоростями. Известно, что один велосипедист на остаток пути после встречи со вторым велосипедистом потратил на 3 минуты меньше, чем на путь до встречи, и на 7 минут меньше, чем потратил второй велосипедист на остаток пути после встречи с первым велосипедистом. Через сколько минут после старта велосипедисты встретились?

Решение. Пусть график движения первого велосипедиста нарисован синим. До встречи он двигался время $t$. После встречи тогда - $t-3$. Так как второй после встречи ехал дольше на 7 минут, чем первый, то он потратил время $t-3+7=t+4$, что и показано на рисунке.

Графики пути от времени для велосипедистов задачи 3.

Составляем отношения сходственных сторон для выделенных цветом подобных треугольников:

$$\frac{t}{t-3}=\frac{t+4}{t}$$

$$t^2=t^2+t-12$$

$$t=12$$

Ответ: через 12 минут встретились.