Кинематика - олимпиадная подготовка - 2

Несколько задач на кинематику я собрала в этой статье. Эти задачи мы решали с группой ребят, которых мне довелось готовить к олимпиадам.

Задача 1.

За бегущей прямолинейно со скоростью $\upsilon_l = 45$ км/ч лисой гонится собака. Скорость собаки все время направлена на лису и равна $\upsilon_c = 55$ км/ч. В некоторый момент времени $t$ скорость собаки оказалась перпендикулярной скорости лисы, а расстояние между ними стало равным $L = 150$ м. Найдите ускорение собаки в этот момент времени.

Решение. Нарисуем первоначальное положение лисы и собаки.

Расположение лисы и собаки в начальный момент

Теперь нарисуем положение лисы и собаки через очень небольшое время $\tau$. Лиса прошла расстояние

$$\upsilon_l \tau=L\alpha~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$\alpha$ - угол между прямой, соединяющей лису и собаку в начальный момент времени и прямой, соединяющей их через время $\tau$.

Лиса и собака переместились

Скорость собаки по условию постоянна, но она поменяла свое направление – потому что ноc собаки все время направлен на лису. Когда бывает такое: скорость постоянна по модулю, но меняет  направление? Конечно, при движении по кругу. То есть собака перемещается по некоторой дуге окружности. Нарисуем воображаемый центр этой окружности и ее радиус.

Собака перемещается по дуге

Лиса из точки 1 переместилась в точку 2, собака – из точки 3 в точку 4. Радиус, соединяющий собаку с центром окружности, по которой она перемещается, повернулся на угол $\alpha_c$, и этот угол равен $\alpha$ (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Так как момент времени $\tau$ мал, то, во -первых, мы можем записать равенство (1), во вторых, можем записать аналогично для собаки:

$$\upsilon_c \tau=R\alpha_c =R\alpha$$

Откуда

$$R=\frac{\upsilon_c \tau }{\alpha }$$

Но из (1)

$$\alpha=\frac{\upsilon_l \tau}{L}$$

Значит, можно выразить $R$:

$$R=\frac{\upsilon_c \tau L}{\upsilon_l \tau}=\frac{\upsilon_c L}{\upsilon_l}$$

Так как у собаки нет тангенциального ускорения, так как по дуге она движется с постоянной скоростью, то ее ускорение – только его нормальная составляющая, и оно равно

$$a_n=\frac{\upsilon_c^2}{R}=\frac{\upsilon_c^2\upsilon_l}{\upsilon_c L}=\frac{\upsilon_l \upsilon_c}{L}$$

$$a_n=\frac{\upsilon_l \upsilon_c}{L}=\frac{45 \cdot 55}{0,15}=1,273$$

Ответ: ускорение собаки 1,27 м/с$^2$, направлено горизонтально вправо - туда же, куда направлена скорость лисы.

Задача 2.

Палочка длины $l$ стоит на горизонтальной опоре около вертикальной стенки. На нижнем конце палочки сидит жук. В некоторый момент времени палочка начинает двигаться так, что ее нижний конец движется с постоянной скоростью $\upsilon$ по горизонтальной опоре, а верхний скользит вдоль стенки. В этот же момент жук начинает двигаться вдоль палочки с постоянной относительно палочки скоростью $\upsilon_1$. На какую максимальную высоту над горизонтальной опорой поднимется жук?

К задаче 2

Решение. Пусть прошло время $t$ и жук переместился на расстояние $S=\upsilon_1 t$, а нижний конец палочки тогда прошел расстояние $\upsilon t$. Отношение

$$\frac{\upsilon t}{l}=\cos \alpha$$

Промежуточное положение жука

$$t=\frac{l\cos \alpha }{\upsilon }$$

Высота, на которой окажется жук, пройдя расстояние $S$, равна

$$H=S\sin \alpha=\upsilon_1 t \sin \alpha$$

Подставим время:

$$H=\frac{\upsilon_1}{\upsilon}l\cos \alpha \sin \alpha=\frac{\upsilon_1}{\upsilon}l\frac{\sin 2\alpha}{2}$$

Максимальное значение синуса двойного угла – 1. При таком синусе высота тоже максимальна:

$$H_{max}=\frac{\upsilon_1 l}{2\upsilon}$$

Ответ: $H_{max}=\frac{\upsilon_1 l}{2\upsilon}$.

Задача 3.

На поверхности стола расположен неподвижный цилиндр радиуса $R$. К некоторой точке цилиндра прикреплена невесомая нерастяжимая нить длиной $l_0$, к концу которой привязано тело. Телу сообщают скорость $\upsilon$, направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться на цилиндр. Найти время, за которое половина нити намотается на цилиндр.

К задаче 3

Решение.

Пусть прошло очень малое время $\Delta t$, и тело переместилось на расстояние

$$S=\upsilon\Delta t$$

При этом точка, в которой нить отходит от цилиндра, тоже переместилась – пусть на расстояние $\Delta l$ - показано красным на рисунке.

Перемещение тела и нити

На рисунке угол показан большим, на самом деле он мал – угол $\Delta \varphi$, на который переместилось тело и нить, и, соответственно, радиус от центра цилиндра до точки, где нить от него отходит, тоже переместился на этот же угол. Так как угол этот мал, то можно записать

$$\sin \varphi=\varphi=\frac{S}{l}=\frac{\upsilon\Delta t}{l}$$

А

$$\Delta l=R\Delta \varphi$$

По тем же соображениям. Можно подставить:

$$\Delta l=\frac{R\upsilon\Delta t}{l}$$

Откуда

$$\Delta l\cdot l= R\upsilon\Delta t$$

Суммируем левую часть от $\frac{L}{2}$ до $L$, а правую суммируем от нуля до $\tau$. Подробнее о суммировании здесь.

Получаем:

$$\frac{L^2}{2}-\left(\frac{L}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{2}=R\upsilon \tau$$

И, наконец, время:

$$\tau=\frac{3L^2}{8R\upsilon}$$

Ответ: $\tau=\frac{3L^2}{8R\upsilon}$