Задачи на движение с постоянной скоростью

Первая задача интереснее второй. Тут главное - понять, какое время больше, и тогда ошибку негде сделать. При решении второй задачи важно четко понимать, когда отсчет времени начался, и когда он закончился.

Задача 1.

Вячеслав выехал на мотоцикле из пункта $H$ в пункт $D$. Когда Вячеслав проехал $\frac{1}{8}$ всего пути, на автомобиле вдогонку ему выехал Валентин. Чему равно расстояние между пунктами $H$ и  $D$, если в тот момент, когда Вячеслав проехал $\frac{13}{48}$ всего пути, Валентин проехал 8 км, а в пункт $D$ они прибыли одновременно?

Рассчитаем задержку по времени, с которой выехал Валентин. Она равна $\frac{\frac{S}{8}}{\upsilon_m}$, где $\upsilon_m$ - скорость мотоциклиста Вячеслава.

Тогда легко записать два уравнения по условию задачи. Легче начать со второго: путешественники прибыли одновременно. Тогда можем приравнять время движения: время автомобилиста равно $\frac{S}{\upsilon_a}$, и это меньше, чем время мотоциклиста $\frac{S}{\upsilon_m}$, на ту самую задержку:

$$\frac{S}{\upsilon_a}+\frac{S}{8\upsilon_m}=\frac{S}{\upsilon_m}$$

Теперь второе условие. На то, чтобы проехать $\frac{13}{48}$ всего пути, Вячеслав потратил время $\frac{\frac{13S}{48}}{\upsilon_m}$. На то, чтобы проехать 8 км, Валентин потратил $\frac{S}{\upsilon_a}$, но выехал-то он позже, следовательно:

$$\frac{8}{\upsilon_a}+\frac{S}{8\upsilon_m}=\frac{13S}{48\upsilon_m}$$

Объединим наши уравнения в систему:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{S}{\upsilon_a}+\frac{S}{8\upsilon_m}=\frac{S}{\upsilon_m} }\\{\frac{8}{\upsilon_a}+\frac{S}{8\upsilon_m}=\frac{13S}{48\upsilon_m}}\end{matrix}$$

Обратим внимание на то, что неизвестных у нас три, а уравнений 2. Поэтому найдем отношение скоростей из одного уравнения  и подставим во второе.

$$\begin{Bmatrix}{\frac{S}{\upsilon_a}=\frac{7S}{8\upsilon_m} }\\{\frac{8}{\upsilon_a}=\frac{13S}{48\upsilon_m}-\frac{6S}{48\upsilon_m}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{\upsilon_m }{\upsilon_a}=\frac{7}{8 } }\\{\frac{8}{\upsilon_a}=\frac{7S}{48\upsilon_m}}\end{matrix}$$

$$7S=8\cdot 48\cdot \frac{7}{8}$$

$$S=48$$

Задача 2.

Скорость поезда постоянна. Чему равна длина поезда, если он проезжает мимо платформы длиной 545 м за $\frac{2335}{42}$ с, а мимо придорожного столба за $\frac{50}{3}$ с?

Составим систему из двух уравнений. Мимо столба поезд протягивает только свою собственную длину $L$. Тогда его скорость равна

$$\upsilon=\frac{L}{\frac{50}{3}}=\frac{3L}{50}$$

А когда поезд идет мимо платформы, отсчет времени начинается, когда нос поезда поравнялся с началом платформы, а заканчивается, когда хвост поравняется с ее концом. При этом нос уже ушел вперед на расстояние $L$, поэтому

$$\upsilon=\frac{L+545}{\frac{2335}{42}}=\frac{42(L+545)}{2335}$$

Приравниваем скорости и считаем:

$$\frac{3L}{50}=\frac{42(L+545)}{2335}$$

Умножим на 5 и разделим на 3:

$$\frac{L}{10}=\frac{14(L+545)}{467}$$

Тогда:

$$467L=140(L+545)$$

$$327L=76300$$

$$L=\frac{700}{3}$$

Ответ: $L=\frac{700}{3}$ м.

Похожая задача для самостоятельного решения:

Скорость поезда постоянна. Чему равна длина поезда, если он проезжает мимо платформы длиной 893 м за $\frac{713}{41}$ с, а мимо придорожного столба за $6,5$ с?

Ответ: 533 м.