Задачи ЕГЭ на относительность движения

Задачи на относительность движения - пожалуй, самые сложные из задач кинематики. Здесь надо очень хорошо представлять себе, как будет выглядеть картина движения, если ты находишься на этом самом корабле и ощущаешь ветер на своем лице, или ты едешь на конце движущегося стержня и можешь видеть второй его конец. То есть нужно уметь поставить себя на место другого, и вообразить, что он ощущает или видит - это всегда сложно, и в задаче, и в жизни.

Задача 1.

Один корабль идет по морю на север с постоянной скоростью 20 узлов, а другой – навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго – на северо-запад. Определите модуль $\upsilon$ скорости ветра. 1 узел – 1 морская миля в час, 1 морская миля – 1852 м. Ответ выразить в км/ч и округлить до целых. Для начала переведем скорость судов в км/ч: $u=20$ узлов/ час $=20\cdot 1,852$ км/ч$=37,04$ км/ч.

К задаче 1. Корабли и ветер

Пусть ветер дует под углом $\alpha$ по отношению к направлению на север. Так как первый корабль оставляет дым строго слева от себя, то это означает, что его скорость равна проекции скорости ветра на северное направление. Таким образом, корабль и ветер в этом направлении двигаются с одинаковой скоростью и скорость корабля «гасит» скорость ветра. Поэтому можем записать: $$\upsilon_k=\upsilon \cos{\alpha}$$ Скорость второго корабля, наоборот, накладывается на скорость ветра, на его борту «ветер сильнее». Результатом сложения скоростей ветра и корабля является направление сноса дыма. Чтобы найти скорость ветра в неподвижной системе, нужно из скорости дыма  вычесть скорость корабля, который здесь – подвижная система отсчета. Тогда: $$\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon_k}+\vec{\upsilon_d}$$

Вектора дымов и кораблей

Проекция скорости ветра на северное направление тогда равна $$\upsilon_k+\upsilon \cos{\alpha}=2\upsilon \cos{\alpha}$$ Проекция скорости ветра на западное направление равна $\upsilon \sin{\alpha}$, и, следовательно, $$\upsilon \cos{\alpha}+\upsilon_k=\upsilon \sin{\alpha}$$ $$2\upsilon \cos{\alpha}=\upsilon \sin{\alpha}$$ $$\operatorname{tg}{\alpha}=2$$ $$\alpha=\operatorname{arctg} 2=63^{\circ}$$ Тогда скорость ветра равна: $$\upsilon=\frac{\upsilon_k }{\cos{\alpha}}=\frac{37,04}{\cos{63^{\circ}}}=\frac{37,04}{0,45}=82,7$$ Ответ: 83 км/ч  

Задача 2.

Стержень скользит по инерции по гладкому горизонтальному столу. В некоторый момент времени в неподвижной системе отсчета скорости концов стержня составляют с направлением стержня углы $\alpha=30^{\circ}$ и $\beta=60^{\circ}$. Какой угол $\gamma$ образует со стержнем в этот момент скорость его центра? Пусть скорость одного конца стержня равна $\upsilon_1$, а второго $\upsilon_2$. Стержень участвует в двух движениях: в поступательном и вращательном. Если спроецировать скорости концов на направление стержня, то можно определить скорость поступательного движения, а проекции скорости, перпендикулярные направлению стержня, дадут возможность найти мгновенный центр вращения.

К задаче 2. Стержень

Проекции скорости на направление стержня обязаны быть равными, так как стержень не претерпевает растяжения: $$\upsilon_1 \cos{\alpha}=\upsilon_2 \cos{\beta}$$ Проекции скоростей на перпендикулярное стержню направление относятся так же, как расстояния концов стержня до мгновенного центра вращения: $$\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}}{c}=\frac{l+x}{x}$$ Отсюда $$x=\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha} l}{\upsilon_2 \sin{\beta}-\upsilon_1 \sin{\alpha}}$$ Теперь можем найти скорость середины стержня, и угол, под которым она направлена к стержню. Проекция скорости центра на направление стержня такая же, как и у концов: $\upsilon_1 \cos{\alpha}$. Найдем перпендикулярную составляющую. Для этого составим пропорцию: $$\frac{\upsilon_3 \sin{\gamma}}{\upsilon_1 \sin{\alpha}}=\frac{\frac {l}{2} +x}{x}$$ $$\upsilon_3 \sin{\gamma}=\frac{(\frac {l}{2} +x)\upsilon_1 \sin{\alpha}}{x}$$ $$\upsilon_3 \sin{\gamma}=\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}+\upsilon_2 \sin{\beta}}{2}$$ $$\upsilon_3 \sin{\gamma}=\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}+\upsilon_1 \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}}\sin{\beta}}{2}$$ $$\upsilon_3 \sin{\gamma}=\upsilon_1 \frac{\sin{\alpha}+ \cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta}}{2}$$ Проекция скорости центра стержня на направление стержня такая же, как у концов: $$\upsilon_3\cos{\gamma}=\upsilon_1 \cos{\alpha}$$ Сам угол равен $\gamma=\operatorname{arctg}\frac{\upsilon_1 \frac{\sin{\alpha}+ \cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta}}{2}}{\upsilon_1 \cos{\alpha}}$ $=\operatorname{arctg} \left(\frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{2}}\right)$ $$\gamma=\operatorname{arctg} \left(\frac{\operatorname{tg}{30^{\circ}}}{2}+\frac{\operatorname{tg}{60^{\circ}}}{2}\right)= \operatorname{arctg} 1,15= 49,1^{\circ}$$ Ответ: $\gamma= 49,1^{\circ}$.