Задача про поезд и велосипедиста

Задачу подкинули знакомые, она показалась мне интересной, поэтому привожу ее решение.

Задача. Каждый день в одно и то же время со станции Авдеевки по направлению к  деревне Георгиевке отправляется поезд, и в то же время из Георгиевки в сторону Авдеевки вдоль железнодорожных путей выезжает велосипедист. Проехав некоторое расстояние, велосипедист останавливается на отдых  и через 19 минут после остановки мимо него проезжает поезд. Однажды велосипедист проехал на 12 минут дольше, чем обычно, поэтому встретил поезд через три минуты после остановки, а на следующий день проехал  обычное время, но на 1 км/ч быстрее, и встретил поезд через 16 минут после остановки. Чему равно время в минутах, которое обычно тратит велосипедист на путь до остановки, если расстояние между деревней и  станцией 168,8 км?

Пусть скорость поезда равна $\upsilon_0$, а скорость велосипедиста - $\upsilon$. Тогда в первом случае скорость сближения поезда и велосипедиста равна $\upsilon_0+\upsilon$, и сближаются они время $t$, которое является искомым. Таким образом они покрывают расстояние, равное $(\upsilon_0+\upsilon )t$. Потом, по истечении этого времени, велосипедист отдыхает, и поезд покрывает оставшееся расстояние в одиночку, и преодолевает $19\upsilon_0$, а два эти расстояния в сумме – как раз расстояние между Георгиевкой и Авдеевкой:

$$(\upsilon_0+\upsilon )t+19\upsilon_0=168,8$$

Во втором случае скорость сближения велосипедиста и поезда та же, но время больше на 12 минут, поэтому они проедут вместе расстояние $(\upsilon_0+\upsilon )(t+12)$, а потом поезд проедет до встречи с велосипедистом еще $3\upsilon_0$:

$$(\upsilon_0+\upsilon )(t+12)+3\upsilon_0=168,8$$

Наконец, в последнем случае скорость велосипедиста больше обычной и равна  $\upsilon +\frac{1}{60}$, поэтому скорость сближения велосипедиста и поезда равна$(\upsilon_0+\upsilon +\frac{1}{60})$. Тогда за искомое время $t$ они преодолевают расстояние $(\upsilon_0+\upsilon +\frac{1}{60})t$. Остаток расстояния до встречи тогда равен $16\upsilon_0$.

$$(\upsilon_0+\upsilon +\frac{1}{60})t+16\upsilon_0=168,8$$

Получили систему:

$$\begin{Bmatrix}{ (\upsilon_0+\upsilon )t+19\upsilon_0=168,8}\\{}\\{ (\upsilon_0+\upsilon )(t+12)+3\upsilon_0=168,8}\\{}\\{ (\upsilon_0+\upsilon +\frac{1}{60})t+16\upsilon_0=168,8}\\{}\end{matrix}$$

Вычтем из первого уравнения третье, тогда получим:

$$3\upsilon_0=\frac{t}{60}$$

Или

$$\upsilon_0=\frac{t}{180}$$

Теперь подставим это в первое уравнение:

$$\upsilon_0\cdot t+\upsilon\cdot  t+19\upsilon_0=168,8$$

$$\frac{t}{180}(t+19)+ \upsilon\cdot  t=168,8$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{168,8}{t}-\frac{19+t}{180}$$

Теперь обе скорости подставим во второе уравнение нашей системы:

$$\left(\frac{t}{180}+\frac{168,8}{t}-\frac{19+t}{180}\right)(t+12)+\frac{3t}{180}=168,8$$

Упрощаем:

$$-\frac{16t}{180}+\frac{12\cdot168,8}{t}-\frac{12\cdot19}{180}=0$$

$$-\frac{4t}{45}+\frac{12\cdot168,8}{t}-\frac{19}{15}=0$$

Домножим на $-45t$:

$$4t^2-12\cdot168,8\cdot45+57t=0$$

Числа ужасны, но все-таки это обычное квадратное уравнение. Решим его.

$$D=57^2+4\cdot12\cdot168,8\cdot45\cdot4=1461681=1209^2$$

$$t=\frac{-57+1209}{8}=144$$

Второй корень отрицателен, его не рассматриваем.

Ответ: 144 минуты.