Сложные задачи на определение средней скорости

Задача 1.

На первую треть пути автомобиль затратил четверть всего времени движения, а оставшееся расстояние он проехал со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?

Решение. Осталось проехать две трети пути, а времени  осталось – три четверти. Пусть весь путь - $3S$ тогда две трети - $2S$:

$$\frac{2S}{\frac{3}{4}t}=\frac{8S}{3t}=40$$

Преобразуем:

$$\frac{S}{t}=15$$

Ну а средняя скорость – весь путь, деленный на все время:

$$\frac{3S}{t}=45$$

Ответ: 45 км/ч.

Задача 2.

Телега первую треть пути ехала со скоростью $\upsilon_1= 5$ км/ч, оставшуюся часть пути она ехала со скоростью, в два раза большей средней скорости на всем пути. Найдите скорость телеги на второй части пути.

Решение. Пусть средняя скорость на всем пути $\upsilon$, а весь путь - $3S$. Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon=\frac{3S}{\frac{S}{\upsilon_1}+\frac{2S}{2\upsilon}}$$

Здесь время на первом отрезке пути равно $\frac{S}{\upsilon_1}$, а время на втором участке - $\frac{2S}{2\upsilon}$.

Упрощаем:

$$\upsilon=\frac{3}{\frac{1}{5}+\frac{1}{\upsilon}}$$

Перепишем это иначе:

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{\upsilon}=\frac{3}{\upsilon}$$

$$\frac{1}{5}=\frac{2}{\upsilon}$$

$$\upsilon=\frac{2}{0,2}=10$$

Ответ: на второй части пути телега мчалась со скоростью  $2\upsilon=20$ км/ч.

Задача 3.

Автомобиль первую половину времени ехал со скоростью $\upsilon_1 = 80$ км/ч, оставшееся время двигался со скоростью $\upsilon_2 = 40$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на второй половине его пути.

Решение. Если прошла половина времени, то и осталась половина. Пусть все время - $2t$, тогда половина времени - $t$. Определяем весь путь:

$$S=\upsilon_1\cdot t+\upsilon_2\cdot t=80t+40t=120 t$$

Таким образом, весь путь $120t$, половина пути – $60t$.

Из этого пути $20t$ было проделано со скоростью $\upsilon_1 = 80$ км/ч, а $40t$ - со скоростью $\upsilon_2 = 40$ км/ч. То есть первый отрезок проделан за время

$$t_{x1}=\frac{20t}{80}$$

А второй отрезок за время

$$ t_{x2}=\frac{40t}{40}$$

Средняя скорость на второй половине пути

$$\upsilon=\frac{60t}{ t_{x1}+ t_{x2}}=\frac{60t}{\frac{20t}{80}+\frac{40t}{40}}=\frac{60t}{0,25t+t}=\frac{60}{1,25}=48$$

Ответ: средняя скорость на второй половине пути равна 48 км/ч.

Задача 4.

Во время соревнований по автомобильным гонкам победитель, пройдя 50 кругов, обогнал второго призера на 2 круга. Какова средняя скорость движения второго автомобиля, если средняя скорость первого 100 км/ч?

Решение. Запишем среднюю скорость первого как

$$\upsilon_1=100=\frac{50S}{t}$$

Второй призер прошел 48 кругов. Его скорость равна

$$\upsilon_2=\frac{48S}{t}$$

Из первого уравнения следует, что $\frac{S}{t}=2$, следовательно,

$$\upsilon_2=48\cdot\frac{S}{t} =48 \cdot 2=96$$

Ответ: скорость второго призера 96 км/ч.

Задача 5.

Велосипедист проехал часть пути со скоростью большей на $\Delta \upsilon = 10$ км/ч, чем средняя на всем пути, а затем оставшуюся часть пути (вдвое меньшую, чем первая) со скоростью на $\Delta \upsilon$ меньшей, чем средняя. Найдите среднюю скорость велосипедиста.

Решение. Пусть весь путь велосипедиста $3S$, тогда первая часть пути $2S$, а вторая, меньшая, $S$. Его средняя скорость:

$$\upsilon=\frac{3S}{\frac{2S}{\upsilon+10}+\frac{S}{\upsilon-10}}=\frac{3}{\frac{2}{\upsilon+10}+\frac{1}{\upsilon-10}}$$

Перепишем иначе:

$$\frac{2}{\upsilon+10}+\frac{1}{\upsilon-10}=\frac{3}{\upsilon}$$

$$\frac{2(\upsilon-10)+\upsilon+10}{\upsilon^2-100}=\frac{3}{\upsilon}$$

$$\frac{3\upsilon-10}{\upsilon^2-100}=\frac{3}{\upsilon}$$

$$3\upsilon^2-300=3\upsilon^2-10\upsilon$$

$$\upsilon=30$$

Ответ: средняя скорость 30 км/ч.

Задача 6.

Двигаясь на велосипеде по ровной горизонтальной дороге вдоль линии электропередач, Петя заметил, что на преодоление расстояния между соседними столбами ему требуется время $t_1$. Когда дорога пошла под горку, от столба до столба Петя стал проезжать за время $t_2$. За какое время $t_3$ Петя проезжал бы между столбами, если бы все время ехал с постоянной скоростью, равной средней скорости своего движения по ровному и наклонному участкам? Длина горизонтального участка равна длине участка под горку. Расстояние между столбами одинаковое.

Решение. Возьмем расстояние, состоящее из одного участка по ровной поверхности, и одного участка по наклонной.  Тогда средняя скорость Пети равна

$$\upsilon=\frac{2S}{t_1+t_2}$$

Время $t_3$ тогда равно

$$t_3=\frac{S}{\upsilon}=\frac{S}{\frac{2S}{t_1+t_2}}=\frac{ t_1+t_2}{2}$$

Ответ: $t_3=\frac{ t_1+t_2}{2}$.

 

Задача 7.

Турист первую треть всего времени движения шел по грунтовой дороге со скоростью $\upsilon_1 = 2$ км/ч, затем треть всего пути перемещался по шоссе со скоростью $\upsilon_2$. В конце второго участка пути он встретил грузовик, на котором и вернулся в исходную точку по той же дороге. Известно, что на грузовике он ехал с постоянной скоростью $\upsilon_3$. Вычислите среднюю путевую скорость $\upsilon_0$ туриста. Укажите минимальное возможное значение скорости $\upsilon_2$.

Решение. Было преодолено две половины пути: туда и обратно. Обратно - на грузовике. Значит, самый первый участок составляет

$$\frac{S}{2}-\frac{S}{3}=\frac{S}{6}$$

Средняя скорость может быть записана как

$$\upsilon_0=\frac{S}{\frac{S}{6\upsilon_1}+\frac{S}{3\upsilon_2}+\frac{S}{2\upsilon_3}}$$

$$\upsilon_0=\frac{1}{\frac{1}{6\upsilon_1}+\frac{1}{3\upsilon_2}+\frac{1}{2\upsilon_3}}~~~~~~~~~~~~(*)$$

Так же можно записать cкорость на первом участке так:

$$\upsilon_1=\frac{\frac{S}{6}}{\frac{t}{3}}=\frac{S}{6}\cdot\frac{3}{t}=\frac{S}{2t}=\frac{\upsilon_0}{2}$$

Откуда

$$\upsilon_0=4$$

Подставим в (*):

$$\frac{1}{\upsilon_0}=\frac{1}{6\upsilon_1}+\frac{1}{3\upsilon_2}+\frac{1}{2\upsilon_3}$$

$$\frac{1}{4}=\frac{1}{6\cdot 2}+\frac{1}{3\upsilon_2}+\frac{1}{2\upsilon_3}$$

$$\frac{1}{6}=\frac{1}{3\upsilon_2}+\frac{1}{2\upsilon_3}$$

Домножим на 6:

$$1=\frac{2}{\upsilon_2}+\frac{3}{\upsilon_3}$$

$$\frac{2}{\upsilon_2}=1-\frac{3}{\upsilon_3}$$

Отсюда видно,

$$\upsilon_2=\frac{2}{1-\frac{3}{\upsilon_3}}$$

Скорость минимальна, когда знаменатель правой части максимален. А он максимален, если равен единице. То есть $\upsilon_2=2$ км/ч. Да, при этом получается, что скорость грузовика бесконечна или стремится к бесконечности, так что в реальности скорость $\upsilon_2>2$ км/ч.

Ответ: средняя скорость равна 4 км/ч, минимальная скорость на втором участке не может быть меньше 2 км/ч.

Задача 8. Автомобиль проехал треть пути со скоростью $\upsilon = 46$ км/ч. Затем четверть времени всего движения он ехал со скоростью в полтора раза превышающей среднюю на всем пути. На последнем участке автомобиль ехал со скоростью $2\upsilon$. Определите максимальную скорость автомобиля.

Решение. Пусть весь путь $3S$, а все время - $4t$. Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon_{sr}=\frac{3S}{4t}$$

Одна четверть времени – это $t$, это вот такая величина:

$$t=\frac{3S}{4\upsilon_{sr}}$$

Запишем среднюю скорость из других соображений (распишем время по кусочкам).

$$\upsilon_{sr}=\frac{3S}{t_1+t_2+t_3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

Здесь

$$t_1=\frac{S}{\upsilon}$$

$$t_2=t=\frac{3S}{4\upsilon_{sr}}$$

За такое время будет пройден путь, равный (длина второго участка)

$$S_2=t\cdot 1,5\upsilon_{sr}=t\cdot\frac{3S}{4t}\cdot 1,5=1,125S$$

На последний участок остается

$$S_3=2S-1,125S=\frac{7}{8}S$$

$$t_3=\frac{\frac{7}{8}S }{2\upsilon}=\frac{7S}{16\upsilon}S$$

Подставляем в (*):

$$\upsilon_{sr}=\frac{3S}{\frac{S}{\upsilon}+\frac{3S}{4\upsilon_{sr}}+\frac{7S}{16\upsilon}}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{3}{\frac{1}{\upsilon}+\frac{3}{4\upsilon_{sr}}+\frac{7}{16\upsilon}}$$

Перепишем так:

$$\frac{3}{\upsilon_{sr}}=\frac{1}{\upsilon}+\frac{3}{4\upsilon_{sr}}+\frac{7}{16\upsilon}$$

$$\frac{2,25}{\upsilon_{sr}}=\frac{1}{\upsilon}+\frac{7}{16\upsilon}=\frac{23}{16\upsilon}$$

Откуда

$$\upsilon_{sr}=\frac{2,25\cdot16\upsilon}{23}=2,25\cdot 32=72$$

Максимальная скорость - $1,5\upsilon_{sr}=1,5\cdot 72=108$ км/ч.

Ответ: 108 км/ч.