Подготовка к олимпиадам по физике: 9 класс. Средняя скорость и ускорение

Начинаю серию статей по подготовке к олимпиадам по физике разного уровня. Как видно из названия, эта статья предназначена для школьников 9 класса. В олимпиадах для вас можно встретить задачи по следующим темам: тепловой баланс, электричество (а именно, постоянный ток), равноускоренное движение, статика (или гидростатика), анализ графиков, оптика и средняя скорость. В этой статье представлены задачи на среднюю скорость и ускорение.

Задача 1.

Автомобиль первую половину пути ехал со скоростью $\upsilon_1= 40$ км/ч, оставшуюся часть пути – со скоростью $\upsilon_2= 60$ км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля за вторую половину времени его движения.

Сделаем рисунок.

Рисунок 1

Видно, что за вторую половину пути автомобиль прошел чуть больше половины пути. Видим также, что у нас две неизвестные: путь и время. Видимо, по ходу решения задачи нам надо будет их связать. Начнем с конца: запишем то, что нам необходимо найти.

$$\upsilon_{sr1}=\frac{S_1}{t}$$

Где $S_1$ - это путь, пройденный за вторую половину времени. Чему равен этот путь? Очевидно, что

$$S_1=2S-\upsilon_1t$$

Следовательно,

$$\upsilon_{sr1}=\frac{2S-\upsilon_1t }{t}=\frac{2S}{t}-\upsilon_1 $$

Осталось выяснить, чему равно отношение $\frac{2S}{t}$, то есть связать эти величины, о чем говорилось выше. Такую связь может дать нам средняя скорость на всем пути:

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{t_1+t_2}$$

Здесь $t_1$ - время движения со скоростью $\upsilon_1$, $t_2$ - время движения со скоростью $\upsilon_2$.

$$t_1=\frac{S}{\upsilon_1}$$

$$t_2=\frac{S}{\upsilon_2}$$

Тогда

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{\frac{S}{\upsilon_1}+\frac{S}{\upsilon_2}}=\frac{2\upsilon_1\upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$$

Но, с другой стороны,

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{2t}=\frac{S}{t}$$

Тогда

$$\upsilon_{sr1}=\frac{2S}{t}-\upsilon_1 =\frac{4\upsilon_1\upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}-\upsilon_1 =\frac{4\cdot 40\cdot 60}{40+60}-40=56$$

Ответ: $\upsilon_{sr1}=56$ км/ч.

Задача 2.

Турист первую треть всего времени движения шел по грунтовой дороге со скоростью $\upsilon_1= 2$ км/ч, затем треть всего пути перемещался по шоссе со скоростью $\upsilon_2$. В конце второго участка пути он встретил грузовик, на котором и вернулся в исходную точку  по той же дороге. Известно, что на грузовике он ехал с постоянной скоростью $\upsilon_3$. Вычислите среднюю путевую cкорость $\upsilon_0$  туриста. Укажите минимальное возможное значение скорости $\upsilon_2$.

Рисунок 2

Для определения $\upsilon_0$  нужно весь путь ($S$) поделить на все время движения туриста $t$. Так как скорость его движения по грунтовке известна, то, если он шел по ней в течение времени $\frac{t}{3}$, то прошел расстояние  $\frac{\upsilon_1t}{3}$. Потом прошел еще треть $S$, и обратно он проехал те же две составляющие! То есть полный путь туриста

$$S= \frac{\upsilon_1t}{3}+\frac{S}{3}+\frac{S}{3}+\frac{\upsilon_1t}{3}$$

$$\frac{2}{3}\upsilon_1t=\frac{S}{3}$$

Или

$$\upsilon_0=\frac{S}{t}=2\upsilon_1=4$$

Теперь подумаем, как найти минимальное возможное значение скорости $\upsilon_2$. Треть времени мы уже потратили на путь по грунтовке, значит, в нашем распоряжении две трети. Если уменьшать время движения на грузовике, то время ходьбы по шоссе будет увеличиваться. В теории (конечно, в жизни так не бывает) грузовик может перемещаться бесконечно быстро, то есть за бесконечно малое время. Тогда на путь по шоссе останется $\frac{2}{3}t$ - это и есть условие минимальной скорости. Тогда

$$\upsilon_2_{min}=\frac{\frac{S}{3}}{\frac{2t}{3}}=\frac{S}{2t}=\frac{\upsilon_0}{2}=2$$

Ответ: $\upsilon_0=4$ км/ч, $\upsilon_2_{min}=2$ км/ч.

Задача 3.

Длина шкалы спидометра 15 см; он измеряет скорость автомобиля в пределах от нуля до 150 км/ч. Найдите скорость указателя спидометра, если автомобиль движется с ускорением 2 м/с$^2$.

Рисунок 3

Здесь используется спидометр старого образца, вы таких и не видели никогда. Он похож на термометр. Горизонтальный столбик внутри такого спидометра двигается вправо все больше и больше с набором скорости аналогично тому, как столбик ртути растет с ростом температуры у человека.

Сначала переведем данные задачи в систему СИ: $l=0,15$ м – длина шкалы прибора, $\upsilon=\frac{150000}{3600}=41,7$ м/с.

Так как нам дано ускорение, то можно найти время разгона до максимальной скорости по определению ускорения:

$$t=\frac{\upsilon-0 }{a}$$

Тогда длина столбика равна

$$l=\upsilon_{st} t=\upsilon_{st}\cdot \frac{\upsilon }{a}$$

Откуда

$$\upsilon_{st}=\frac{la}{\upsilon }=\frac{0,15\cdot 2}{41,7}=0,0072$$

Ответ: $\upsilon_{st}=0,0072$ м/с или $\upsilon_{st}=0,72$ cм/с.