Эскалаторы

В этой статье собраны задачи про эскалаторы. Пассажиры метро чего только на них не выделывают, и каких только способов подняться и спуститься не придумали! Встретятся и задачи на постоянную скорость, и задачи на относительность движения.

Задача 1.

Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору  метрополитена за время $t_1=3$ мин, а по движущемуся вверх – за $t_2=2$ минуты. Сможет ли он подняться по эскалатору, движущемуся с той же скоростью вниз? Если да, то за какое время?

Итак, дана, по сути, собственная скорость пассажира. Ее можно найти, зная время его подъема и обозначив длину расстояния от нижней точки до верхней за $l$:

$$\upsilon_p=\frac{l}{t_1}$$

Когда эскалатор движется вверх, то скорости пассажира и эскалатора сложатся, и относительно земли пассажир будет двигаться со скоростью $\upsilon_p+\upsilon$, где $\upsilon$ - скорость движения эскалатора. Тогда время подъема станет равным $t_2$:

$$t_2=\frac{l}{\upsilon_p+\upsilon }=\frac{l}{\frac{l}{t_1}+\upsilon }$$

Отсюда можно определить скорость эскалатора:

$$l=\frac{lt_2}{t_1}+\upsilon t_2$$

$$\upsilon=\frac{l\left(1-\frac{t_2}{t_1}\right)}{t_2}=l\left(\frac{1}{t_2}-\frac{1}{t_1}\right)$$

Если пассажиру вздумается идти вверх по эскалатору, то скорость эскалатора вычтется из его собственной скорости, и общая скорость подъема станет равной $\upsilon_p-\upsilon$, тогда время подъема:

$$t_3=\frac{l}{\upsilon_p-\upsilon}=\frac{l}{\frac{l}{t_1}-\left(\frac{l}{t_2}-\frac{l}{t_1}\right)}=\frac{1}{\frac{2}{t_1}-\frac{1}{t_2}}=\frac{t_1t_2}{2t_2-t_1}=6$$

Ответ: 6 минут.

 

Задача 2.

Человек спускается по движущемуся вниз эскалатору. В первый раз он насчитал $n_1=50$ ступенек, второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью относительно  эскалатора втрое большей, он насчитал $n_2=75$ ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

Так как в первом случае и во втором случае человек бежал с разной скоростью, то и время он затрачивал разное. Кроме того, он пробегает в каждом случае и разный путь, поскольку эскалатор тоже движется, и с каждой секундой расстояние, которое отделяет человека от конца эскалатора, все время сокращается. Поэтому пусть в первом случае наш пассажир двигался со скоростью $\upsilon$ и  прошел путь $S_1$ за время $t_1$, а во втором случае скорость движения $3\upsilon$, время движения $t_2$ и $S_2$ - пройденное расстояние. Тогда:

$$ S_1=\upsilon_1 \cdot t_1$$

$$ S_2=3\upsilon_1 \cdot t_2$$

Пути, пройденные в первом и втором случае, разные, но перемещение-то одно и то же! Человек достиг цели: спустился сверху вниз. Обозначим перемещение $l$. Тогда относительно земли человек в первом случае движется со скоростью $\upsilon_1+u$, где $u$ - скорость эскалатора, а во втором случае $3\upsilon_1+u$:

$$l=t_1 \cdot (\upsilon_1+u)$$

$$l=t_2 \cdot (3\upsilon_1+u)$$

$$t_1=\frac{l}{\upsilon_1+u }$$

$$t_2=\frac{l}{3\upsilon_1+u }$$

Подставим найденное время:

$$ S_1=\upsilon_1 \cdot \frac{l}{\upsilon_1+u }$$

$$ S_2=3\upsilon_1 \cdot \frac{l}{3\upsilon_1+u }$$

Разделим $S_2$ на $S_1$:

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{3(\upsilon_1+u) }{3\upsilon_1+u }$$

Найдем отношение скорости человека к скорости эскалатора, разделив на $u$:

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{3(\frac{\upsilon_1}{u}+1) }{3\frac{\upsilon_1}{u}+1}$$

$$S_2(3\frac{\upsilon_1}{u}+1)=S_1(3\frac{\upsilon_1}{u}+3)$$

$$75(3\frac{\upsilon_1}{u}+1)=50(3\frac{\upsilon_1}{u}+3)$$

$$225\frac{\upsilon_1}{u}+75=150\frac{\upsilon_1}{u}+150$$

$$75\frac{\upsilon_1}{u}=75$$

$$\frac{\upsilon_1}{u}=1$$

$$ \upsilon_1=u$$

Тогда можно подставить:

$$ S_2=3\upsilon_1 \cdot \frac{l}{3\upsilon_1+\upsilon_1}$$

$$S_2=\frac{3l}{4}$$

Откуда расстояние $l$, выраженное в числе ступенек, $l=100$.

Ответ: 100.

Задача 3.

Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за время $t_1=1$ мин. Если человек будет двигаться относительно эскалатора вдвое быстрее, то он спустится за $t_2=45$ с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

Пусть сначала скорость спуска человека относительно эскалатора равна $u$, тогда во второй раз  она будет $2u$. Скорость эскалатора обозначим за $\upsilon$. Поскольку в обоих случаях и человек, и эскалатор движутся в одну сторону, то скорости будут складываться. Поэтому время первого спуска равно:

$$t_1=\frac{l}{u+\upsilon}$$

А время второго спуска будет

$$t_2=\frac{l}{2u+\upsilon}$$

Если человек на эскалаторе просто стоит, то он и движется со скоростью эскалатора, ее нам и надо найти. Составим из этих двух уравнений систему и решим ее.

$$\begin{Bmatrix}{ u+\upsilon =\frac{l}{t_1}}\\{2u+\upsilon =\frac{l}{t_2}}\end{matrix}$$

Уравняем коэффициенты:

$$\begin{Bmatrix}{ 2u+2\upsilon =\frac{2l}{t_1}}\\{2u+\upsilon =\frac{l}{t_2}}\end{matrix}$$

Вычтем из первого второе уравнение:

$$\upsilon=\frac{2l}{t_1}-\frac{l}{t_2}$$

Теперь можно определить и время спуска, если человек стоит на эскалаторе. Оно будет равно

$$t_3=\frac{l}{\upsilon}=\frac{1}{\frac{2}{t_1}-\frac{1}{t_2}}=\frac{t_1t_2}{2t_2-t_1}=\frac{60\cdot 45}{2\cdot 45-60}=90$$

Ответ: 90 с.

 

Задача 4.

Два человека одновременно вступают на эскалатор с противоположных сторон и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями относительно эскалатора $\upsilon=2$ м/с. На каком расстоянии от входа на эскалатор они встретятся? Длина эскалатора 100 м, его скорость $u=1,5$ м/с.

Если наши пассажиры встретились, то, следовательно, прошли весь эскалатор: часть – один, а часть – второй. Тот, что двигался в ту же сторону, что и эскалатор, относительно земли перемещался со скоростью $\upsilon+u$, а тот, что шел навстречу движению – со скоростью $\upsilon- u$. Таким образом, скорость сближения двух людей равна $\upsilon+u+\upsilon-u=2\upsilon$. Таким образом, время их движения равно:

$$t=\frac{l}{2\upsilon}$$

За это время тот, что шел в одну сторону с эскалатором, прошел

$$l_1=t\cdot(\upsilon+u)= \frac{l(\upsilon+u)}{2\upsilon}=\frac{100(2+1,5)}{4}=25\cdot3,5=87,5$$

А тот, что шел навстречу движению эскалатора, прошел

$$l_2=t\cdot(\upsilon-u)= \frac{l(\upsilon-u)}{2\upsilon}=\frac{100(2-1,5)}{4}=25\cdot0,5=12,5$$

Таким образом, если вход на эскалатор там, где ступил на него первый пассажир (что логично), то встретятся они в 87,5 м от этого места.

Ответ: 87,5 м.

 

Задача 5.

Эскалатор метро движется со скоростью $\upsilon=1$ м/с. Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на ступеньку вперед и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время $t=70$ с. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шел другим способом: делал два шага вперед и один шаг назад?  Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперед и назад одинакова и равна $u=0,5$ м/с. Считать размеры ступеней много меньше длины эскалатора.

Итак, пусть человек затрачивает время $t$ для того, чтобы шагнуть на одну ступеньку. Тогда сначала он будет двигаться со скоростью $-\frac{1}{3t}$, поскольку в итоге шагает назад на одну ступеньку, и делает это за тройное время. Иначе говоря, скорость человека в первом случае равна $-\frac{u}{3}$. Движется он в сторону, противоположную движению эскалатора,  поэтому его скорость относительно земли равна $\upsilon-\frac{u}{3}$. В конце концов он добирается до нижней точки, то есть совершает перемещение $l$:

$$l=(\upsilon-\frac{u}{3})t$$

Если бы он шел вторым способом, то скорость относительно эскалатора была бы $\frac{u}{3}$, а относительно  земли $\upsilon+\frac{u}{3}$. Время перемещения тогда составило бы:

$$t_1=\frac{l}{\upsilon+\frac{u}{3}}=\frac{(\upsilon-\frac{u}{3})t }{\upsilon+\frac{u}{3}}=\frac{(3\upsilon –u)t}{3\upsilon +u}=\frac{2,5\cdot 70}{3,5}=50$$

Ответ: 50 с.