Движение точки на плоскости

В этой статье понадобится различать такие понятия, как модуль средней скорости и средняя путевая скорость. Модуль средней скорости – это средняя скорость по перемещению, то есть частное от деления модуля перемещения на время. Средняя путевая скорость – это частное от деления всего пути, пройденного телом, на время.

Задача 1.

Тело совершает два последовательных, одинаковых по модулю перемещения со скоростью $\upsilon_1=20 $ м/с под углом $\alpha=60^{\circ}$ и со скоростью $\upsilon_2=40 $ м/с под углом $\beta=120^{\circ}$ к оси $X$. Найти модуль средней скорости и среднюю путевую скорость.

Сначала определимся с тем, что необходимо найти в этой задаче. Модуль средней скорости – это средняя скорость по перемещению, то есть частное от деления модуля перемещения на время. Средняя путевая скорость – это частное от деления всего пути, пройденного телом, на время. То есть необходимо узнать путь, перемещение и время, за которое оно произошло. Обозначим длину отрезка, на которую переместилось тело, за $a$. Тогда можем сделать рисунок:

Задача 1

Определим сначала среднюю путевую скорость.

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{2a}{t_1+t_2}=\frac{2a}{\frac{a}{\upsilon_1}+\frac{a}{\upsilon_2}}=\frac{2\upsilon_1\upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{2\cdot 20\cdot 40}{60}=27$$

Теперь по рисунку найдем перемещение, тогда сможем найти и среднюю скорость по перемещению $\upsilon_p$. Из рисунка видно, что перемещение равно $L=2b$, а длина отрезка $b=a\cos(90-\alpha)=a\sin{\alpha}$.

Тогда

$$\upsilon_p=\frac{L}{t}=\frac{2a\sin{\alpha}}{t_1+t_2}=\frac{2a\sin{\alpha}}{\frac{a}{\upsilon_1}+\frac{a}{\upsilon_2}}=\frac{2\upsilon_1\upsilon_2\sin{\alpha}}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{2\cdot 20\cdot 40\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{60}=23$$

Ответ: модуль средней скорости равен 23 м/с, а средняя путевая скорость равна 27 м/с.

Задача 2.

По прямому шоссе со скоростью $\upsilon_1=16$ м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии $a=60$ м от шоссе и на расстоянии $b=400$ м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек со скоростью $\upsilon_2=4$ м/с, чтобы выйти к какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше него?

Будем рассуждать, сделав рисунок.

Задача 2

Необходимо, чтобы время движения человека и автобуса были бы равны. Но этого условия мало, необходимо еще добавить условие на расстояние между человеком и автобусом.

$$t_a=t$$

$$\frac{L}{\upsilon_1}=\frac{l}{\upsilon_2}$$

$$\frac{L}{16}=\frac{l}{4}$$

Или $L=4l$. Здесь $L$ - расстояние, которое пройдет автобус, а $l$ - расстояние, которое пробежит человек. Обозначим расстояние от автобуса до точки $A$ за $x$.

$$x=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{400^2-60^2}=\sqrt{156400}=395,5$$

Человек может выбрать направление движения: прямиком к точке А, навстречу автобусу, к точке В, или к точке С. Очевидно, что он бы затратил 15 секунд на то, чтобы добежать до A. Автобусу на это понадобится почти вдвое больше времени. Точка А удовлетворяет условию задачи.

Если человек будет бежать в направлении B, то он будет двигаться по гипотенузе прямоугольного треугольника $FAB$ - $FB$. Тогда $FB=l$,

$$l=\sqrt{a^2+(x-L)^2}$$

$$l=\sqrt{a^2+(x-4l)^2}$$

$$l^2=a^2+x^2-8xl+16l^2$$

$$15l^2-8xl +a^2+x^2=0$$

$$15l^2-8xl +b^2=0$$

Имеем квадратное уравнение относительно $l$, решим его.

$$D=64\cdot395,5^2-4\cdot 15\cdot400^2=641^2$$

$$l_{1,2}=\frac{3164 \pm 641}{30}$$

$$l_1=84,1$$

$$l_2=127$$

Итак, мы получили, что человек может бежать к точке В, и тогда его путь должен быть равен 84 м, а бежать он должен почти под углом $45^{\circ}$ к перпендикуляру $FA$ и к шоссе, или он может бежать к точке $C$, тогда его путь составит 127 метров, а бежать надо будет почти под углом $30^{\circ}$ к шоссе. И также он может двигаться к любой точке шоссе, заключенной между точками $B$ и $C$, но тогда автобуса придется подождать.

Задача 3.

Две точки двигаются по осям $X$ и $Y$. В момент времени $t_0=0$ точка 1 находилась на расстоянии $l_1=10$ см, а точка 2 на расстоянии $l_2=5$ см от начала координат. Первая точка движется со скоростью $\upsilon_1=2$ см/с, а вторая – со скоростью $\upsilon_2=4$ см/с. Встретятся ли они? Если нет, то какое наименьшее расстояние будет между точками?

Пусть первая точка движется вниз по оси $y$, а вторая – влево по оси $x$. Тогда уравнение движения первой будет:

$$y=y_0-\upsilon_y t$$

А уравнение движения второй –

$$x=x_0-\upsilon_x t$$

Так как точки  движутся по катетам треугольника, то расстояние между ними – его гипотенуза. Следовательно, нам надо найти минимум длины этой гипотенузы. Запишем ее уравнение:

$$l^2=x^2+y^2$$

$$l^2=(x_0-\upsilon_x t )^2 +(y_0-\upsilon_y t )^2$$

Раскроем скобки:

$$l^2=x_0^2-2x_0\upsilon_x t +\upsilon_x^2 t^2 + y_0^2-2y_0\upsilon_y t +\upsilon_y^2 t^2 $$

Объединим подобные относительно $t$ слагаемые:

$$l^2=(\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2)t^2 –t(2x_0\upsilon_x + 2y_0\upsilon_y )+ y_0^2 + x_0^2$$

Видно, что в правой части равенства имеем квадратичную зависимость относительно $t$, причем парабола расположена ветвями вверх и минимум будет достигнут в вершине, поэтому найдем вершинку этой параболы:

$$t_{min}=\frac{-b}{2a}=\frac{2x_0\upsilon_x + 2y_0\upsilon_y  }{2(\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2)}$$

Определив время, сможем найти и минимальное расстояние:

$$t_{min}=\frac{2\cdot20 + 2\cdot20}{2(4^2+2^2)}=\frac{80}{40}=2$$

Мы получили время в секундах. Теперь определим минимальное расстояние:

$$l=\sqrt{(\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2)t^2 –t(2x_0\upsilon_x + 2y_0\upsilon_y )+ y_0^2 + x_0^2}$$

$$l=\sqrt{80  –2\cdot80  +100+25}=\sqrt{45}=6,7$$

Ответ: минимальное расстояние – 6,7 см, точки максимально сблизятся через 2 с.

Задача 4.

Прямая, образующая угол $\alpha=30^{\circ}$ с положительным направлением оси $X$, движется со скоростью $\upsilon$. С какой скоростью движется точка пересечения этой прямой с осью $Y$?

Задача 4

Пусть точка, принадлежащая прямой, движется со скоростью $u$. Тогда $\upsilon=u\cos{\alpha}$. Следовательно,

$$u=\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}$$

Точка, движущаяся по оси $Y$, имеет скорость $c$,

$$c=u \sin{\alpha}=\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}\sin{\alpha}=\upsilon \operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon }{\sqrt{3}}$$

Ответ: $\frac{\upsilon }{\sqrt{3}}$.